Mathos AI | آلة حاسبة للتكامل الثلاثي - احسب التكاملات الثلاثية بسهولة

المقدمة

هل أنت في خضم دراسة حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات وتشعر بالإرهاق من التكاملات الثلاثية؟ لست وحدك! التكاملات الثلاثية هي مفهوم أساسي في حساب التفاضل والتكامل، وهي ضرورية لحساب الأحجام والكتل وغيرها من الكميات في الفضاء ثلاثي الأبعاد. تهدف هذه الدليل الشامل إلى توضيح التكاملات الثلاثية، من خلال تفكيك المفاهيم المعقدة إلى تفسيرات سهلة الفهم، خاصة للمبتدئين.

في هذا الدليل، سنستكشف:

• ما هو التكامل الثلاثي؟
• لماذا نستخدم التكاملات الثلاثية؟
• كيفية حساب التكاملات الثلاثية
  • التكاملات المتكررة
  • تغيير ترتيب التكامل
• التكاملات الثلاثية في أنظمة الإحداثيات المختلفة
  • الإحداثيات الكارتيزية
  • الإحداثيات الأسطوانية
  • الإحداثيات الكروية
• أمثلة على التكاملات الثلاثية
• استخدام آلة حاسبة Mathos AI للتكامل الثلاثي
• الخاتمة
• الأسئلة الشائعة

بنهاية هذا الدليل، سيكون لديك فهم قوي للتكاملات الثلاثية وستشعر بالثقة في تطبيقها لحل المشكلات المعقدة.

ما هو التكامل الثلاثي؟

فهم الأساسيات

التكامل الثلاثي يوسع مفهوم التكامل الأحادي والثنائي إلى ثلاثة أبعاد. يسمح لك بتكامل دالة على منطقة ثلاثية الأبعاد، وهو أمر ضروري عند التعامل مع الأحجام والكتل وغيرها من الكميات الفيزيائية في الفضاء.

التعريف:

التكامل الثلاثي لدالة $f(x, y, z)$ على منطقة $V$ في الفضاء ثلاثي الأبعاد يُرمز له بـ:

iiint_V f(x, y, z) d V$$ - $ iiint$ تشير إلى التكامل على ثلاثة متغيرات. - $f(x, y, z)$ هي الدالة التي يتم تكاملها. - $d V$ تمثل عنصر حجم تفاضلي. - $V$ هي منطقة التكامل في الفضاء ثلاثي الأبعاد. #### المفاهيم الأساسية: - عنصر الحجم التفاضلي ( $d V$ ): يمثل حجمًا صغيرًا غير نهائي في الفضاء يتم فيه تكامل الدالة. - حدود التكامل: تحدد حدود المنطقة $V$ التي تقوم بالتكامل عليها. - التكامل المتكرر: يمكن تقييم التكامل الثلاثي كتكامل متكرر، حيث يتم إجراء التكامل بشكل متسلسل على كل متغير. ### الرموز والمفاهيم في الإحداثيات المستطيلة (الكارتيزية)، يُكتب التكامل الثلاثي كالتالي:

\iiint_V f(x, y, z) d x d y d z

- يمكن أن يختلف ترتيب التكامل ( $\mathrm{dx}, \mathrm{dy}, \mathrm{dz}$ )، وأحيانًا يمكن أن يؤدي تغيير الترتيب إلى تبسيط الحساب. #### تشبيه من العالم الحقيقي: تخيل أنك تقوم بملء حاوية ثلاثية الأبعاد بمادة، وتريد حساب الكمية الإجمالية بناءً على كثافة متغيرة $f(x, y, z)$ . يقوم التكامل الثلاثي بجمع مساهمة كل عنصر حجم غير نهائي داخل الحاوية لإيجاد الكمية الإجمالية. ## لماذا نستخدم التكاملات الثلاثية؟ ### التطبيقات في الفيزياء والهندسة تستخدم التكاملات الثلاثية على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة لحساب كميات مثل: - الحجم: حساب حجم المناطق ثلاثية الأبعاد ذات الأشكال غير المنتظمة. - الكتلة: إيجاد كتلة الأجسام ذات الكثافة المتغيرة. - مركز الكتلة: تحديد نقطة التوازن لتوزيع الكتلة. - عزم القصور الذاتي: حساب الخصائص الدورانية للأجسام. ### حساب الأحجام والكتل عند التعامل مع الأجسام التي تتغير كثافتها في جميع أنحاء الحجم، تسمح لك التكاملات الثلاثية بتكامل دالة الكثافة على الحجم لإيجاد الكتلة الإجمالية:

\mathrm{Mass}=\iiint_V \rho(x, y, z) d V

- $\quad \rho(x, y, z)$ تمثل دالة الكثافة عند أي نقطة داخل الجسم. #### مثال: حساب كتلة كرة صلبة بكثافة تتغير مع نصف القطر. #### لماذا التكامل الثلاثي مهم: - الدقة: يوفر حسابات دقيقة للحجوم والكتل في الفضاء ثلاثي الأبعاد. - التعددية: قابل للتطبيق على أنظمة الإحداثيات المختلفة، متكيفًا مع تناظر المشكلة. - أساس لمواضيع متقدمة: ضروري لفهم المفاهيم في حساب المتجهات، الكهرومغناطيسية، ديناميكا السوائل، وأكثر. ## كيفية حساب التكاملات الثلاثية ### التكاملات المتكررة يمكن تقييم التكامل الثلاثي كتكامل متكرر من خلال التكامل بالتتابع على كل متغير. الشكل العام هو:

\iiint_V f(x, y, z) d x d y d z=\int_{z_0}^{z_1}\left(\int_{y_0}^{y_1}\left(\int_{x_0}^{x_1} f(x, y, z) d x\right) d y\right) d z

#### خطوات تقييم التكامل الثلاثي: 1. إعداد التكامل: - تحديد حدود التكامل لكل متغير. - التعبير عن $f(x, y, z)$ إذا لم يكن معطى بالفعل. 2. التكامل بالنسبة لمتغير واحد: - إجراء التكامل الأكثر عمقًا، مع اعتبار المتغيرات الأخرى ثوابت. 3. الانتقال إلى المتغير التالي: - إجراء التكامل التالي باستخدام النتيجة من الخطوة 2. 4. إكمال التكامل النهائي: - إجراء التكامل الخارجي للحصول على النتيجة النهائية. #### مثال: قيم $$\iiint_V x d V$$، حيث $V$ هو الصندوق المستطيل المحدد بـ $0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2,0 \leq$ $z \leq 3$. #### الحل: 1. إعداد التكامل:

\int_{z=0}^3 \int_{y=0}^2 \int_{x=0}^1 x d x d y d z

2. التكامل بالنسبة لـ $x$ :

\int_{x=0}^1 x d x=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac{1}{2}

3. التكامل بالنسبة لـ $y$ :

\int_{y=0}^2 \frac{1}{2} d y=\left.\frac{1}{2} y\right|_0 ^2=\frac{1}{2}(2)=1

4. التكامل بالنسبة لـ $z$ :

\int_{z=0}^3 1 d z=\left.z\right|_0 ^3=3

#### الجواب:

\iiint_V x d V=3

### تغيير ترتيب التكامل أحيانًا، يمكن أن يؤدي تغيير ترتيب التكامل إلى تبسيط الحساب، خاصة عندما تكون حدود التكامل دوال لمتغيرات أخرى. #### مثال: إذا كانت حدود التكامل تعتمد على متغيرات أخرى، فإن إعادة ترتيب النظام قد تؤدي إلى تكامل أسهل. ## التكاملات الثلاثية في أنظمة الإحداثيات المختلفة ### الإحداثيات الكارتيزية في الإحداثيات الكارتيزية، عنصر حجم التفاضل هو:

d V=d x d y d z

- مناسب للمناطق المتوافقة مع محاور الإحداثيات. #### مثال: تقييم التكاملات الثلاثية على المنشورات المستطيلة أو الصناديق. ### الإحداثيات الأسطوانية عند التعامل مع مشاكل تظهر تناظرًا دورانيًا حول محور، تكون الإحداثيات الأسطوانية أكثر ملاءمة. #### التحويل: - $x=r \cos \theta$ - $y=r \sin \theta$ - $z=z$ - $d V=r d r d \theta d z$ #### عنصر حجم التفاضل:

d V=r d r d \theta d z

#### التطبيقات: - حساب أحجام الأسطوانات، والمخاريط، وأشكال أخرى ذات تناظر دائري. #### مثال: قيم حجم أسطوانة نصف قطرها $R$ وارتفاعها $h$. #### الحل: 1. إعداد التكامل:

\int_{z=0}^h \int_{\theta=0}^{2 \pi} \int_{r=0}^R r d r d \theta d z

2. التكامل بالنسبة لـ $r$ :

\int_{r=0}^R r d r=\left[\frac{r^2}{2}\right]_0^R=\frac{R^2}{2}

3. التكامل بالنسبة لـ $\theta$ :

\int_{\theta=0}^{2 \pi} \frac{R^2}{2} d \theta=\left.\frac{R^2}{2} \theta\right|_0 ^{2 \pi}=\frac{R^2}{2}(2 \pi)=\pi R^2

4. التكامل بالنسبة لـ $z$ :

\int_{z=0}^h \pi R^2 d z=\left.\pi R^2 z\right|_0 ^h=\pi R^2 h

#### الجواب:

\text { الحجم }=\pi R^2 h

### الإحداثيات الكروية بالنسبة للمشاكل ذات التناظر الكروي، تبسط الإحداثيات الكروية التكامل. #### التحويل: - $x=\rho \sin \phi \cos \theta$ - $y=\rho \sin \phi \sin \theta$ - $z=\rho \cos \phi$ - $d V=\rho^2 \sin \phi d \rho d \phi d \theta$ #### عنصر حجم التفاضل:

d V=\rho^2 \sin \phi d \rho d \phi d \theta

#### التطبيقات: - حساب أحجام الكرات، ونصف الكرات، وأشكال أخرى ذات تناظر شعاعي. #### مثال: ابحث عن حجم كرة نصف قطرها $R$. #### الحل: 1. إعداد التكامل:

\int_{\theta=0}^{2 \pi} \int_{\phi=0}^{\pi} \int_{\rho=0}^R \rho^2 \sin \phi d \rho d \phi d \theta

2. التكامل بالنسبة لـ $\rho$ :

\int_{\rho=0}^R \rho^2 d \rho=\left[\frac{\rho^3}{3}\right]_0^R=\frac{R^3}{3}

3. التكامل بالنسبة لـ $\phi$ :

\int_{\phi=0}^{\pi} \frac{R^3}{3} \sin \phi d \phi=\frac{R^3}{3}[-\cos \phi]_0^{\pi}=\frac{R^3}{3}(-\cos \pi+\cos 0)=\frac{R^3}{3}(-(-1)+1)=\frac{2 R^3}{3}

4. التكامل بالنسبة لـ $\theta$ :

\int_{\theta=0}^{2 \pi} \frac{2 R^3}{3} d \theta=\left.\frac{2 R^3}{3} \theta\right|_0 ^{2 \pi}=\frac{2 R^3}{3}(2 \pi)=\frac{4 \pi R^3}{3}

#### الجواب:

\text { الحجم }=\frac{4}{3} \pi R^3

## أمثلة على التكامل الثلاثي دعنا نعمل من خلال بعض الأمثلة لتعزيز فهمك. ### المثال 1: احسب $\iiint_V z d V$ على الصندوق $0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2,0 \leq$ $z \leq 3$. #### الحل: 1. إعداد التكامل:

\int_{z=0}^3 \int_{y=0}^2 \int_{x=0}^1 z d x d y d z

2. التكامل بالنسبة لـ $x$ :

\int_{x=0}^1 z d x=\left.z x\right|_0 ^1=z(1-0)=z

3. التكامل بالنسبة لـ $y$ :

\int_{y=0}^2 z d y=\left.z y\right|_0 ^2=z(2-0)=2 z

4. التكامل بالنسبة لـ $z$ :

\int_{z=0}^3 2 z d z=2\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^3=\left[z^2\right]_0^3=9-0=9

#### الجواب:

\iiint_V z d V=9

### المثال 2: قيم $\iiint_V(x+y+z) d V$، حيث $V$ هو الهرم المحدد بواسطة الطائرات $x=0, y=0, z=0$، و $x+y+z=1$. #### الحل: 1. تحديد حدود التكامل: - بما أن $x, y$، و $z$ جميعها غير سالبة و $x+y+z \leq 1$، سنقوم بالتكامل $z$ من 0 إلى $1-x-y$. 1. إعداد التكامل: $$ \int_{x=0}^1 \int_{y=0}^{1-x} \int_{z=0}^{1-x-y}(x+y+z) d z d y d x $$ 2. التكامل بالنسبة لـ $z$ : $$ \int_{z=0}^{1-x-y}(x+y+z) d z=\left[(x+y) z+\frac{z^2}{2}\right]_0^{1-x-y}=(x+y)(1-x-y)+\frac{(1-x-y)^2}{2} $$ 3. تبسيط التعبير: دع $u=1-x-y$ :

(x+y) u+rac{u^2}{2}=(x+y)(1-x-y)+rac{(1-x-y)^2}{2}

4. التكامل بالنسبة لـ $y$ : الآن، قم بتكامل التعبير بالنسبة لـ $y$ من 0 إلى $1-x$. 5. التكامل بالنسبة لـ $x$ : أخيرًا، قم بتكامل التعبير الناتج بالنسبة لـ $x$ من 0 إلى 1 . نظرًا لتعقيد التكاملات، يُنصح باستخدام أدوات حسابية مثل آلة حساب التكامل الثلاثي Mathos AI لتقييم هذا التكامل. #### الجواب:

\iiint_V(x+y+z) d V=rac{1}{8}

## استخدام آلة حساب التكامل الثلاثي Mathos AI يمكن أن يكون حساب التكاملات الثلاثية يدويًا مستهلكًا للوقت ومعقدًا، خاصةً بالنسبة للمناطق غير المنتظمة أو الدوال المعقدة. تبسط آلة حساب التكامل الثلاثي Mathos AI هذه العملية، حيث توفر حلولًا سريعة ودقيقة مع شروحات مفصلة. ### الميزات - التعامل مع المناطق المعقدة: - تكامل عبر مناطق متنوعة، بما في ذلك تلك المعرفة بواسطة عدم المساواة. - أنظمة الإحداثيات المتعددة: - تدعم الإحداثيات الكارتيزية، والأسطوانية، والكرية. - حلول خطوة بخطوة: - توفر خطوات مفصلة لكل جزء من التكامل. - واجهة سهلة الاستخدام: - سهلة لإدخال الدوال وحدود التكامل. - تمثيلات رسومية: - تصور منطقة التكامل والدالة. ### مثال #### المشكلة: قيم $$\iiint_V x y z d V$$، حيث $V$ هي المنطقة المحددة بواسطة $0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x, 0 \leq z \leq y$ #### باستخدام Mathos AI: 1. إدخال الدالة:

f(x, y, z)=x y z

2. تعيين الحدود: - $x: 0$ إلى 1 - $y: 0$ إلى $x$ - $z: 0$ إلى $y$ 3. حساب: انقر على حساب. 4. النتيجة: توفر الآلة: $$ \iiint_V x y z d V=rac{1}{192} $$ 5. الشرح: - يقوم بإجراء التكامل بالنسبة لـ $z, y$، و $x$ بالتتابع. - يظهر كل خطوة من التكامل، بما في ذلك الاستبدال والتبسيط. 6. الرسم: يعرض المنطقة ثلاثية الأبعاد للتكامل. ### الفوائد - الدقة: يقضي على أخطاء الحساب. - الكفاءة: يوفر الوقت في الحسابات المعقدة. - أداة تعليمية: يعزز الفهم مع شروحات مفصلة. - الوصول: متاح على الإنترنت، استخدمه في أي مكان مع الوصول إلى الإنترنت. ## الخاتمة تعتبر التكاملات الثلاثية أداة قوية في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات، مما يمكنك من حساب الأحجام والكتل وغيرها من الكميات في الفضاء ثلاثي الأبعاد. فهم كيفية إعداد وتقييم التكاملات الثلاثية، بالإضافة إلى كيفية اختيار نظام الإحداثيات المناسب، أمر ضروري لحل المشكلات المعقدة في الرياضيات والفيزياء والهندسة. ### النقاط الرئيسية: - التعريف: تمتد التكاملات الثلاثية إلى ثلاثة أبعاد، حيث يتم تكامل الدوال على حجم. - الحساب: يتم تقييمها كتكرارات للتكاملات، حيث يتم التكامل بشكل متسلسل على كل متغير. - أنظمة الإحداثيات: اختيار نظام الإحداثيات الصحيح (كارتيسي، أسطواني، كروي) يبسط التكامل. - التطبيقات: تستخدم في حساب الأحجام والكتل ذات الكثافة المتغيرة، ومركز الكتلة، والمزيد. - آلة حساب الرياضيات AI: مورد قيم للحسابات الدقيقة والفعالة، مما يساعد في التعلم وحل المشكلات. ## الأسئلة الشائعة ### 1. ما هو التكامل الثلاثي؟ التكامل الثلاثي يمدد مفهوم التكامل إلى ثلاثة أبعاد. يسمح لك بتكامل دالة $f(x, y, z)$ على منطقة ثلاثية الأبعاد $V$ :

iiint_V f(x, y, z) d V$$

2. لماذا نستخدم التكاملات الثلاثية؟

تستخدم التكاملات الثلاثية لحساب الأحجام والكتل وغيرها من الكميات في الفضاء ثلاثي الأبعاد، خاصة عند التعامل مع دوال تتغير عبر منطقة معينة. إنها ضرورية في الفيزياء والهندسة والرياضيات المتقدمة.

3. كيف تحسب التكامل الثلاثي؟

من خلال تقييمه كتكامل متكرر:

1. إعداد التكامل مع الحدود المناسبة.
2. التكامل بشكل متتابع على كل متغير.
3. تبسيط في كل خطوة قبل الانتقال إلى المتغير التالي.

4. ما هي أنظمة الإحداثيات المستخدمة في التكاملات الثلاثية؟

• إحداثيات كارتيسية ( $\mathbf{x , y , z }$ ) : للمناطق المتوافقة مع محاور الإحداثيات.
• إحداثيات أسطوانية (r, $\boldsymbol{\theta}, \mathbf{z}$ ) : للمناطق ذات التناظر الدوراني حول محور.
• إحداثيات كروية $(\rho, \phi, \theta)$ : للمناطق ذات التناظر الكروي.

5. كيف يمكنني تغيير ترتيب التكامل في التكامل الثلاثي؟

من خلال إعادة تقييم حدود التكامل لكل متغير بناءً على الترتيب الجديد. يمكن أن يبسط التكامل إذا كان الترتيب الجديد يتماشى بشكل أفضل مع وظيفة أو تناظر المنطقة.

6. ما هو عنصر الحجم التفاضلي في أنظمة الإحداثيات المختلفة؟

• كارتيسية: $d V=d x d y d z$
• أسطوانية: $d V=r d r d \theta d z$
• كروية: $d V=\rho^2 \sin \phi d \rho d \phi d \theta$

7. هل يمكنني استخدام آلة حاسبة لحساب التكاملات الثلاثية؟

نعم، يمكنك استخدام آلة حاسبة التكامل الثلاثي Mathos AI لحساب التكاملات الثلاثية، مع تقديم حلول خطوة بخطوة وتمثيلات رسومية.

8. ما هي بعض تطبيقات التكاملات الثلاثية؟

• حساب الأحجام: للمناطق ثلاثية الأبعاد غير المنتظمة.
• حساب الكتل: عندما تتغير الكثافة في جميع أنحاء الحجم.
• تطبيقات في الفيزياء: في الكهرومغناطيسية، ديناميكا السوائل، والديناميكا الحرارية.

9. كيف أختار أفضل نظام إحداثيات للتكامل الثلاثي؟

اختر نظام الإحداثيات الذي يتناسب مع تناظر المنطقة أو الوظيفة:

• كارتيسية: للمناطق المستطيلة أو على شكل صندوق.
• أسطوانية: للمناطق ذات التناظر الدائري حول محور.
• كروية: للمناطق الكروية أو ذات التناظر الشعاعي.