Mathos AI | حاسبة التوزيع الهندسي

المفهوم الأساسي لحساب التوزيع الهندسي

ما هو حساب التوزيع الهندسي؟

حساب التوزيع الهندسي هو طريقة إحصائية تستخدم لنمذجة عدد المحاولات المطلوبة لتحقيق النجاح الأول في سلسلة من تجارب بيرنولي المستقلة. لكل تجربة نتيجتان محتملتان فقط: النجاح أو الفشل، مع احتمال ثابت للنجاح. يساعد التوزيع الهندسي في الإجابة على السؤال: كم عدد المحاولات التي ستستغرقها للنجاح لأول مرة؟

الخصائص الرئيسية للتوزيع الهندسي

يحتوي التوزيع الهندسي على عدة خصائص رئيسية:

1. دالة الكتلة الاحتمالية (PMF): احتمال تحقيق النجاح الأول في المحاولة رقم $k$ يُعطى بالصيغة:

$$P(X = k) = (1 - p)^{k-1} \cdot p$$

حيث $p$ هو احتمال النجاح في كل محاولة، و $k$ هو رقم المحاولة.

2. دالة التوزيع التراكمي (CDF): احتمال تحقيق النجاح الأول في أو قبل المحاولة رقم $k$ هو:

$$P(X \leq k) = 1 - (1 - p)^k$$

3. المتوسط (القيمة المتوقعة): العدد المتوقع من المحاولات لتحقيق النجاح الأول هو:

$$E(X) = \frac{1}{p}$$

4. التباين: تباين التوزيع هو:

$$\text{Var}(X) = \frac{1 - p}{p^2}$$

كيفية إجراء حساب التوزيع الهندسي

دليل خطوة بخطوة

1. تحديد احتمال النجاح ($p$): حدد احتمال النجاح لكل محاولة.

2. تحديد رقم المحاولة ($k$): حدد رقم المحاولة التي تريد حساب احتمال النجاح فيها.

3. استخدم صيغة PMF: احسب احتمال النجاح الأول في المحاولة رقم $k$ باستخدام صيغة PMF.

4. استخدم صيغة CDF: إذا كنت بحاجة إلى احتمال النجاح في أو قبل المحاولة رقم $k$، فاستخدم صيغة CDF.

5. حساب المتوسط والتباين: استخدم صيغ المتوسط والتباين لفهم سلوك التوزيع.

الأخطاء الشائعة التي يجب تجنبها

• التعرف الخاطئ على $p$ و $1-p$: تأكد من تحديد احتمال النجاح ($p$) والفشل ($1-p$) بشكل صحيح.
• تطبيق الصيغة غير الصحيحة: استخدم الصيغة الصحيحة لـ PMF أو CDF بناءً على متطلبات المشكلة.
• تجاهل الاستقلالية: تذكر أن كل محاولة يجب أن تكون مستقلة حتى ينطبق التوزيع الهندسي.

حساب التوزيع الهندسي في العالم الحقيقي

التطبيقات في مختلف المجالات

يستخدم التوزيع الهندسي على نطاق واسع في مختلف المجالات:

• مراقبة الجودة: نمذجة عدد العناصر المنتجة قبل حدوث عيب.

• الاتصالات السلكية واللاسلكية: تقدير عدد المحاولات اللازمة لإنشاء اتصال ناجح.

• علم الأحياء: تحديد عدد المحاولات المطلوبة لمراقبة سمة وراثية معينة.

دراسات الحالة

1. قلب العملة: لنفترض أنك تقلب عملة عادلة حتى تحصل على صورة. يتم حساب احتمال الحصول على الصورة الأولى في القلبة الثالثة على النحو التالي:

$$P(X = 3) = (0.5)^{3-1} \cdot 0.5 = 0.125$$

2. رمي النرد: إذا قمت برمي نرد سداسي الجوانب حتى ترمي الرقم 6، فإن احتمال الحاجة إلى 4 رميات على الأكثر هو:

$$P(X \leq 4) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 \approx 0.518$$

الأسئلة الشائعة حول حساب التوزيع الهندسي

ما هي افتراضات التوزيع الهندسي؟

تشمل الافتراضات:

• كل تجربة مستقلة.
• احتمال النجاح ثابت لكل تجربة.
• تستمر التجارب حتى يتم ملاحظة النجاح الأول.

ما الفرق بين التوزيع الهندسي والتوزيع ذي الحدين؟

يمثل التوزيع الهندسي عدد المحاولات حتى النجاح الأول، بينما يمثل التوزيع ذي الحدين عدد النجاحات في عدد ثابت من المحاولات.

هل يمكن استخدام التوزيع الهندسي للبيانات المستمرة؟

لا، التوزيع الهندسي ينطبق فقط على البيانات المنفصلة حيث يتم حساب النتائج بأعداد صحيحة.

ما هي بعض الأمثلة العملية للتوزيع الهندسي؟

تشمل الأمثلة:

• قلب عملة حتى تظهر صورة.
• رمي نرد حتى يتم رمي رقم معين.
• إجراء مكالمات مبيعات حتى يتم إجراء عملية بيع.

كيف يمكنني استخدام Mathos AI لحساب التوزيع الهندسي؟

يوفر Mathos AI واجهة سهلة الاستخدام لإدخال احتمال النجاح ورقم المحاولة المطلوب. ثم يقوم بحساب احتمال النجاح باستخدام صيغ التوزيع الهندسي، مما يوفر نتائج سريعة ودقيقة.