Mathos AI | حاسبة الاحتمالات: 3 أحداث

المفهوم الأساسي لحساب الاحتمالات 3 أحداث

ما هو حساب الاحتمالات 3 أحداث؟

يتعامل حساب الاحتمالات الذي يتضمن ثلاثة أحداث مع تحديد احتمالية وقوع حدث واحد أو أكثر من بين ثلاثة أحداث محتملة. 'الحدث' في مصطلحات الاحتمالات، هو ببساطة مجموعة من النتائج من تجربة عشوائية. نريد أن نفهم كيفية إيجاد فرص وقوع هذه الأحداث، سواء بشكل فردي أو معًا أو في مجموعات محددة.

أمثلة على الأحداث:

• الحدث أ: رمي النرد والحصول على 2.
• الحدث ب: قلب عملة معدنية والحصول على صورة.
• الحدث ج: سحب رخام أخضر من كيس.

عندما نناقش حساب الاحتمالات بثلاثة أحداث، فإننا نفكر في سيناريوهات مثل:

• ما هي فرصة وقوع الحدث أ أو الحدث ب أو الحدث ج؟
• ما هي فرصة وقوع الحدث أ و الحدث ب و الحدث ج معًا؟
• ما هي فرصة وقوع الحدث أ بافتراض أن الحدثين ب وج قد وقعا بالفعل؟

لحل هذه المشكلات، نستخدم صيغًا محددة ونحتاج إلى النظر فيما إذا كانت الأحداث مستقلة (حدث واحد لا يؤثر على الأحداث الأخرى) أو تابعة (حدث واحد يؤثر على الأحداث الأخرى) وإذا كانت حصرية متبادلة (لا يمكن أن تحدث في نفس الوقت).

كيفية إجراء حساب الاحتمالات 3 أحداث

دليل خطوة بخطوة

إليك تفصيل لكيفية التعامل مع حسابات الاحتمالات بثلاثة أحداث، مع أمثلة:

1. حدد أحداثك

حدد بوضوح الأحداث الثلاثة التي تعمل معها. قم بتعيين تسميات لها مثل أ، ب، وج.

مثال:

• أ = سحب آس من مجموعة أوراق اللعب.
• ب = رمي 4 على النرد ذي الستة أوجه.
• ج = تدوير دولاب ذي 3 أقسام متساوية (أحمر، أزرق، أخضر) والهبوط على اللون الأخضر.

2. حدد احتمالية كل حدث فردي

احسب احتمالية وقوع كل حدث بمفرده.

• P(A): احتمالية وقوع الحدث أ
• P(B): احتمالية وقوع الحدث ب
• P(C): احتمالية وقوع الحدث ج

مثال (تكملة من الأعلى):

• P(A) = 4/52 = 1/13 (يوجد 4 آس في مجموعة أوراق اللعب المكونة من 52 ورقة).
• P(B) = 1/6 (يوجد رقم 4 واحد على النرد ذي الستة أوجه).
• P(C) = 1/3 (قسم أخضر واحد من أصل ثلاثة).

3. حدد العلاقات بين الأحداث

هل الأحداث:

• مستقلة؟ نتيجة أحدها لا تؤثر على الآخر. (على سبيل المثال، رمي العملات المعدنية، رمي النرد).
• تابعة؟ نتيجة أحدها تغير احتمالات الآخرين. (على سبيل المثال، سحب الأوراق بدون إرجاع).
• حصرية متبادلة؟ لا يمكن أن تحدث في نفس الوقت. (على سبيل المثال، رمي 1 و 6 على رمية نرد واحدة).

4. طبق الصيغة المناسبة

هذا هو المكان الذي يصبح فيه الأمر محددًا. فيما يلي الصيغ الأساسية:

أ. احتمالية وقوع أ أو ب أو ج (اتحاد الأحداث)

يحسب هذا الاحتمال أن واحدًا على الأقل من الأحداث يقع.

• الحالة العامة (الأحداث ليست حصرية متبادلة):

$$P(A \text{ or } B \text{ or } C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \text{ and } B) - P(A \text{ and } C) - P(B \text{ and } C) + P(A \text{ and } B \text{ and } C)$$

الشرح: نضيف الاحتمالات الفردية، ونطرح احتمالات تقاطعات كل زوج من الأحداث (لتجنب الازدواجية في الحساب)، ثم نضيف مرة أخرى احتمال تقاطع جميع الأحداث الثلاثة (لأنه تم طرحه مرات كثيرة جدًا).

• حالة خاصة (الأحداث حصرية متبادلة):

$$P(A \text{ or } B \text{ or } C) = P(A) + P(B) + P(C)$$

الشرح: نظرًا لأن الأحداث لا يمكن أن تحدث في نفس الوقت، فإن احتمالات التقاطع تساوي صفرًا.

مثال (الحالة العامة):

ضع في اعتبارك رمي نرد عادل ذي ستة أوجه. ليكن:

• أ = رمي عدد زوجي (2، 4، أو 6).
• ب = رمي عدد أكبر من 3 (4، 5، أو 6).
• ج = رمي 6.

إذن:

• P(A) = 3/6 = 1/2
• P(B) = 3/6 = 1/2
• P(C) = 1/6
• P(A and B) = P(رمي 4 أو 6) = 2/6 = 1/3
• P(A and C) = P(رمي 6) = 1/6
• P(B and C) = P(رمي 6) = 1/6
• P(A and B and C) = P(رمي 6) = 1/6

لذلك:

$$P(A \text{ or } B \text{ or } C) = (1/2) + (1/2) + (1/6) - (1/3) - (1/6) - (1/6) + (1/6)$$ $$= (3 + 3 + 1 - 2 - 1 - 1 + 1) / 6$$ $$= 4/6 = 2/3$$

مثال (حالة حصرية متبادلة):

ضع في اعتبارك رمي نرد عادل ذي ستة أوجه. ليكن:

• أ = رمي 1
• ب = رمي 2
• ج = رمي 3

هذه الأحداث حصرية متبادلة.

• P(A) = 1/6
• P(B) = 1/6
• P(C) = 1/6

لذلك:

$$P(A \text{ or } B \text{ or } C) = (1/6) + (1/6) + (1/6) = 3/6 = 1/2$$

ب. احتمالية وقوع أ و ب و ج (تقاطع الأحداث)

يحسب هذا الاحتمال أن جميع الأحداث تقع.

• الأحداث المستقلة:

$$P(A \text{ and } B \text{ and } C) = P(A) * P(B) * P(C)$$

• الأحداث التابعة (باستخدام الاحتمال الشرطي):

$$P(A \text{ and } B \text{ and } C) = P(A) * P(B|A) * P(C|A \text{ and } B)$$

الشرح: P(B|A) هو احتمال وقوع ب بافتراض أن أ قد وقع بالفعل. P(C|A and B) هو احتمال وقوع ج بافتراض أن كلا من أ و ب قد وقعا بالفعل.

مثال (الأحداث المستقلة):

افترض أنك تقلب عملة معدنية عادلة ثلاث مرات. ليكن:

• أ = الحصول على صورة في القلبة الأولى.
• ب = الحصول على صورة في القلبة الثانية.
• ج = الحصول على صورة في القلبة الثالثة.

هذه الأحداث مستقلة.

• P(A) = 1/2
• P(B) = 1/2
• P(C) = 1/2

لذلك:

$$P(A \text{ and } B \text{ and } C) = (1/2) * (1/2) * (1/2) = 1/8$$

مثال (الأحداث التابعة):

افترض أن لديك كيسًا يحتوي على 4 كرات صفراء و 2 كرات خضراء. تقوم بسحب ثلاث كرات بدون إرجاع. ليكن:

• أ = سحب كرة صفراء في السحبة الأولى.
• ب = سحب كرة صفراء في السحبة الثانية.
• ج = سحب كرة صفراء في السحبة الثالثة.

هذه الأحداث تابعة.

• P(A) = 4/6 = 2/3
• P(B|A) = 3/5 (بافتراض أنك سحبت كرة صفراء أولاً، هناك 3 صفراء و 2 خضراء متبقية)
• P(C|A and B) = 2/4 = 1/2 (بافتراض أنك سحبت كرتين صفراوين، هناك 2 صفراء و 2 خضراء متبقية)

لذلك:

$$P(A \text{ and } B \text{ and } C) = (2/3) * (3/5) * (1/2) = 6/30 = 1/5$$

ج. الاحتمال الشرطي بثلاثة أحداث

يحسب هذا الاحتمال وقوع حدث واحد بافتراض أن الأحداث الأخرى قد وقعت بالفعل.

$$P(A| B \text{ and } C) = \frac{P(A \text{ and } B \text{ and } C)}{P(B \text{ and } C)}$$

مثال:

باستخدام الكيس الذي يحتوي على 4 كرات صفراء و 2 كرات خضراء، والسحب بدون إرجاع: ما هو احتمال سحب كرة صفراء أولاً، بافتراض أن السحبتين الثانية والثالثة أسفرتا عن كرات صفراء؟

• أ = سحب كرة صفراء في السحبة الأولى.
• ب = سحب كرة صفراء في السحبة الثانية.
• ج = سحب كرة صفراء في السحبة الثالثة.

نريد إيجاد P(A | B and C).

نعرف بالفعل P(A and B and C) = 1/5. الآن نحتاج إلى حساب P(B and C). هذا يعني سحب كرة صفراء في السحبة الثانية و سحب كرة صفراء في السحبة الثالثة.

لحساب P(B and C)، ننظر في السيناريوهين المحتملين:

1. سحبنا كرة صفراء أولاً، ثم كرة صفراء، ثم كرة صفراء (YYY). الاحتمال هو (4/6)(3/5)(2/4) = 1/5
2. سحبنا كرة خضراء أولاً، ثم كرة صفراء، ثم كرة صفراء (GYY). الاحتمال هو (2/6)(4/5)(3/4) = 1/5

إذًا، P(B and C) هو احتمال سحب كرة صفراء كالكرة الثانية والثالثة وهما: P(YYY) + P(GYY) = 1/5 + 1/5 = 2/5

لذلك:

$$P(A | B \text{ and } C) = \frac{1/5}{2/5} = 1/2$$

5. تحقق من إجابتك

• يجب أن تكون الاحتمالات دائمًا بين 0 و 1.
• هل إجابتك منطقية بالنظر إلى السيناريو؟

حساب الاحتمالات 3 أحداث في العالم الحقيقي

توجد حسابات الاحتمالات التي تتضمن ثلاثة أحداث في العديد من السيناريوهات الواقعية. فيما يلي بعض الأمثلة:

• التنبؤ بالطقس: قد يفكر خبير الأرصاد الجوية في ثلاثة أحداث: أ = مطر غدًا، ب = درجة الحرارة أعلى من 25 درجة مئوية، ج = سرعة الرياح تتجاوز 30 كم/ساعة. يمكنهم بعد ذلك حساب احتمال وقوع الثلاثة معًا، أو احتمال هطول الأمطار بافتراض أن درجة الحرارة مرتفعة والرياح قوية.

• التشخيص الطبي: قد يفكر الطبيب في ثلاثة حالات محتملة بالنظر إلى أعراض المريض: أ = مرض X، ب = مرض Y، ج = مرض Z. بناءً على نتائج الاختبار والأعراض، يمكنهم حساب احتمال كل مرض، أو احتمال الإصابة بمرض X بالنظر إلى نتائج اختبار معينة.

• مراقبة جودة التصنيع: قد يحلل مصنع ينتج المصابيح الكهربائية ثلاثة أحداث: أ = المصباح معيب، ب = سطوع المصباح أقل من المستوى القياسي، ج = عمر المصباح أقصر من المتوقع. يمكنهم استخدام الاحتمالات لتحديد احتمالية وجود عيب واحد أو أكثر من هذه العيوب في المصباح وتعديل عملية التصنيع وفقًا لذلك.

• تحليلات رياضية: في مباراة كرة سلة، يمكن أن تمثل الأحداث أ، ب، وج نجاح اللاعب في رمية حرة، وتسجيل تسديدة ثلاثية، والحصول على كرة مرتدة، على التوالي. يستخدم المحللون هذه الاحتمالات لفهم أداء اللاعبين والتنبؤ بالنتائج.

• تقييم المخاطر المالية: في مجال التمويل، يمكن أن تمثل الأحداث أ، ب، وج زيادة سعر السهم، وانخفاض أسعار الفائدة، وبقاء التضخم مستقرًا، على التوالي. تعتبر حسابات الاحتمالات ضرورية في تقييم المخاطر الاستثمارية.

الأسئلة الشائعة حول حساب الاحتمالات 3 أحداث

ما هي صيغة حساب احتمال 3 أحداث؟

تعتمد الصيغة المحددة على ما تريد حسابه:

• احتمال وقوع أ أو ب أو ج (وقوع حدث واحد على الأقل):

• الحالة العامة (ليست حصرية متبادلة):

$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$$

• حصرية متبادلة:

$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C)$$

• احتمال وقوع أ و ب و ج (وقوع جميع الأحداث):

• مستقلة:

$$P(A \cap B \cap C) = P(A) * P(B) * P(C)$$

• تابعة:

$$P(A \cap B \cap C) = P(A) * P(B|A) * P(C|A \cap B)$$

• الاحتمال الشرطي لـ أ بافتراض ب و ج:

$$P(A | B \cap C) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(B \cap C)}$$

كيف تؤثر الأحداث المستقلة والتابعة على حسابات الاحتمالات؟

• الأحداث المستقلة: وقوع حدث واحد لا يؤثر على احتمال وقوع الأحداث الأخرى. هذا يبسط الحسابات. على سبيل المثال، مع الأحداث المستقلة أ، ب، وج، P(A and B and C) = P(A) * P(B) * P(C).

• الأحداث التابعة: وقوع حدث واحد يغير احتمالات الأحداث اللاحقة. يجب عليك استخدام الاحتمال الشرطي لمراعاة ذلك. على سبيل المثال، P(A and B and C) = P(A) * P(B|A) * P(C|A and B). يعتمد احتمال ب على ما إذا كان أ قد وقع، ويعتمد احتمال ج على ما إذا كان كل من أ و ب قد وقعا.

مثال:

تخيل سحب كرات من كيس. إذا قمت بإرجاع الكرة بعد كل سحبة (مستقلة)، فستبقى الاحتمالات كما هي. إذا لم تقم بإرجاع الكرة (تابعة)، فستتغير الاحتمالات مع كل سحبة لأن تركيبة الكيس تتغير.

هل يمكن تطبيق حسابات الاحتمالات لـ 3 أحداث على أي سيناريو؟

نعم، من الناحية النظرية، يمكن تطبيق حسابات الاحتمالات لثلاثة أحداث على أي سيناريو حيث لديك ثلاثة أحداث محددة وتريد تحديد احتمالية وقوع تركيبات مختلفة من تلك الأحداث. ومع ذلك، يمكن أن يختلف تعقيد الحساب اختلافًا كبيرًا اعتمادًا على طبيعة الأحداث (مستقلة مقابل تابعة، حصرية متبادلة مقابل غير ذلك) وتوافر البيانات لتقدير الاحتمالات. في بعض السيناريوهات الواقعية، قد يكون تحديد احتمالات الأحداث الفردية وتبعاتها بدقة أمرًا صعبًا، مما قد يحد من التطبيق العملي لهذه الحسابات.

ما هي الأدوات التي يمكن أن تساعد في حساب احتمال 3 أحداث؟

توجد عدة أدوات يمكن أن تساعد في هذه الحسابات:

• الآلات الحاسبة: يمكن للآلات الحاسبة الأساسية التعامل مع العمليات الحسابية البسيطة، خاصة مع الأحداث المستقلة. الآلات الحاسبة العلمية مفيدة للعمليات الحسابية الأكثر تعقيدًا.
• برامج الجداول الممتدة (مثل Excel و Google Sheets): يمكن لهذه البرامج إجراء حسابات الاحتمالات وتخزين البيانات وإنشاء تصورات. إنها مفيدة جدًا للاحتمالات الشرطية.
• برامج الإحصاء (مثل R و Python مع مكتبات مثل NumPy و SciPy): تقدم هذه الأدوات وظائف إحصائية متقدمة وهي مفيدة لنماذج الاحتمالات المعقدة والمحاكاة والتعامل مع مجموعات البيانات الكبيرة.
• مخططات Venn: على الرغم من أنها ليست أداة حسابية بحد ذاتها، إلا أن مخططات Venn مفيدة لتصور العلاقات بين الأحداث وفهم الاحتمالات التي تحتاج إلى حسابها.
• حاسبات الاحتمالات عبر الإنترنت: تقدم العديد من المواقع الإلكترونية حاسبات مصممة خصيصًا لحسابات الاحتمالات، بما في ذلك تلك التي تتضمن أحداثًا متعددة. ما عليك سوى البحث عن 'probability calculator 3 events'.
• برامج الرياضيات (مثل Mathos AI): يمكن لهذه الأدوات إجراء عمليات حسابية رمزية ورقمية وهي جيدة للحصول على النتائج بسرعة واستكشاف سيناريوهات الاحتمالات المختلفة.

كيف يرتبط الاحتمال الشرطي بحسابات 3 أحداث؟

يعتبر الاحتمال الشرطي أمرًا بالغ الأهمية عند التعامل مع الأحداث التابعة. يسمح لك بحساب احتمال وقوع حدث بافتراض أن حدثًا واحدًا أو أكثر قد وقع بالفعل.

في سياق ثلاثة أحداث:

• P(A|B) هو احتمال وقوع أ بافتراض وقوع ب.
• P(A|B and C) هو احتمال وقوع أ بافتراض وقوع كل من ب و ج.

تعتبر هذه الاحتمالات الشرطية ضرورية لحساب احتمال تقاطع الأحداث التابعة: P(A and B and C) = P(A) * P(B|A) * P(C|A and B). بدون الاحتمال الشرطي، لا يمكنك حساب الاحتمالات بدقة عندما تكون الأحداث تابعة.