Mathos AI | آلة حساب التكامل غير المحدد - ابحث عن التكاملات غير المحددة

مقدمة في التكاملات غير المحددة

هل تساءلت يومًا كيف يمكنك عكس عملية التفاضل للعثور على الدالة الأصلية المعطاة مشتقتها؟ مرحبًا بك في عالم التكاملات غير المحددة الرائع! التكاملات غير المحددة، المعروفة أيضًا بالتكاملات غير المحددة، هي مفهوم أساسي في حساب التفاضل والتكامل. إنها تتيح لنا إعادة بناء الدوال من مشتقاتها، مما يمكننا من حل المشكلات المتعلقة بالمناطق تحت المنحنيات، والحركة، والتراكم، وأكثر من ذلك بكثير.

في هذا الدليل الشامل، سنقوم بتبسيط مفهوم التكاملات غير المحددة، واستكشاف طرق العثور عليها، ومناقشة القواعد الأساسية للتكاملات غير المحددة. سنغوص في التكاملات غير المحددة للدوال الشائعة، بما في ذلك الدوال المثلثية مثل الجيب، وجيب التمام، والظل، بالإضافة إلى الدوال اللوغاريتمية والأسية. سنقدم لك أيضًا آلة حساب التكامل غير المحدد من Mathos AI مع خطوات، وهي أداة قوية تبسط الحسابات المعقدة وتعزز فهمك من خلال تقديم حلول مفصلة.

سواء كنت طالبًا يتعامل مع مسائل حساب التفاضل والتكامل للمرة الأولى أو شخصًا يبحث عن تجديد مهاراته، سيجعل هذا الدليل التكاملات غير المحددة سهلة الفهم وممتعة!

ما هو التكامل غير المحدد؟

فهم مفهوم التكاملات غير المحددة

التكامل غير المحدد لدالة $f(x)$ هو دالة أخرى $F(x)$ بحيث عندما تقوم بتفاضل $F(x)$، تحصل على $f(x)$ :

$$F^{ ext{prime}}(x)=f(x)$$

بعبارات أبسط، إذا كنت تعرف معدل تغير شيء ما (المشتقة)، فإن التكامل غير المحدد يخبرك بالكمية الأصلية. العثور على التكامل غير المحدد هو في الأساس عكس العثور على المشتقة.

النقاط الرئيسية التي يجب تذكرها:

• ليست فريدة: المشتقات العكسية ليست فريدة. إذا كانت $F(x)$ مشتقة عكسية لـ $f(x)$، فإن $F(x)+C$ هي أيضًا مشتقة عكسية، حيث $C$ هو أي ثابت. وذلك لأن مشتقة الثابت تساوي صفر.
• التكاملات غير المحددة: مجموعة جميع المشتقات العكسية الممكنة لـ $f(x)$ تُسمى التكامل غير المحدد لـ $f(x)$.

الرموز:

المشتقة العكسية أو التكامل غير المحدد لـ $f(x)$ يُرمز لها برمز التكامل:

$$\int f(x) d x=F(x)+C$$

• الرمز $\int$ هو رمز التكامل.
• $f(x)$ هو الدالة المدخلة، الدالة التي تقوم بتكاملها.
• $d x$ يشير إلى متغير التكامل.
• $C$ هو ثابت التكامل.

تشبيه من العالم الحقيقي

فكر في التفاضل والتكامل مثل المشي صعودًا وهبوطًا على تل:

• التفاضل: بالنظر إلى شكل التل (الدالة)، إيجاد الانحدار عند كل نقطة (المشتقة).
• التكامل: بالنظر إلى الانحدار عند كل نقطة (المشتقة)، إعادة بناء شكل التل (الدالة الأصلية).

لماذا تعتبر المشتقات العكسية مهمة؟

تطبيقات المشتقات العكسية

المشتقات العكسية حاسمة في مجالات مختلفة:

• الفيزياء: حساب الإزاحة من السرعة أو السرعة من التسارع.
• الهندسة: تحليل الأنظمة حيث يكون تراكم الكميات أمرًا أساسيًا.
• الاقتصاد: تحديد التكلفة الإجمالية أو الإيرادات من دوال التكلفة الحدية أو الإيرادات.
• الاحتمالات والإحصاء: إيجاد توزيعات الاحتمالات والقيم المتوقعة.

فهم المشتقات العكسية يسمح لك بـ:

• حساب المساحات: تحت المنحنيات أو بين الدوال.
• حل المعادلات التفاضلية: أمر أساسي في نمذجة الظواهر الواقعية.
• تحليل الحركة: تحديد العلاقات بين الموضع والسرعة والتسارع.

كيف تجد المضادات المشتقة؟

عملية العثور على المضادات المشتقة

العثور على مضاد مشتق يتضمن عكس عملية الاشتقاق. إليك كيفية الاقتراب من ذلك:

1. تحديد نوع الدالة:

• هل هي دالة متعددة الحدود، أسية، مثلثية، أو لوغاريتمية؟
• هل تشبه مشتقًا معروفًا؟

2. تطبيق قواعد المضادات المشتقة:

• استخدم صيغ المضادات المشتقة الأساسية.
• تعرف على الأنماط التي تتطابق مع الأشكال القياسية.

3. استخدام تقنيات التكامل (إذا لزم الأمر):

• الاستبدال: للدوال المركبة.
• التكامل بالتجزئة: عندما يكون الدالة المدمجة عبارة عن حاصل ضرب دالتين.
• الكسور الجزئية: للدوال الكسرية.

4. إضافة ثابت التكامل:

• دائمًا قم بإضافة $+C$ لتمثيل عائلة المضادات المشتقة.

مثال:

ابحث عن المضاد المشتق لـ $f(x)=2 x$. الحل:

1. تحديد نوع الدالة:

• إنها دالة متعددة الحدود.

2. تطبيق قاعدة القوة للمضادات المشتقة:

• $\int x^n d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

3. حساب المضاد المشتق:

$$\int 2 x d x=2 \int x d x=2\left(\frac{x^{1+1}}{1+1}\right)+C=2\left(\frac{x^2}{2}\right)+C=x^2+C$$

الإجابة: $x^2+C$

ما هي قواعد المضادات المشتقة الأساسية؟

فهم قواعد المضادات المشتقة الأساسية أمر ضروري لحل التكاملات بكفاءة.

صيغ المضادات المشتقة الأساسية

1. قاعدة القوة:

بالنسبة لأي عدد حقيقي $n \neq-1$ :

$$\int x^n d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

شرح:

• هذه القاعدة تعكس قاعدة القوة للمشتقات.
• تذكر أن $n$ لا يمكن أن يكون -1 لأن القسمة على الصفر غير معرفة.

2. التكامل العكسي للدوال الأسية:

• الدالة الأسية الطبيعية:

$$\int e^x d x=e^x+C$$

• بما أن مشتقة $e^x$ هي $e^x$، فإن التكامل العكسي هو أيضًا $e^x$.
• الدالة الأسية العامة:

$$\int a^x d x=\frac{a^x}{\ln a}+C \quad(\text { لـ } a>0, a \neq 1)$$

• هنا، $\ln a$ هو اللوغاريتم الطبيعي لـ $a$.

3. التكامل العكسي للدالة العكسية:

$$\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$$

• القيمة المطلقة تضمن أن الدالة معرفة لـ $x \neq 0$.

4. التكاملات العكسية للدوال المثلثية:

• دالة الجيب:

$$\int \sin x d x=-\cos x+C$$

• بما أن $\frac{d}{d x}(-\cos x)=\sin x$.
• دالة جيب التمام:

$$\int \cos x d x=\sin x+C$$

• لأن $\frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x$.
• دالة القاطع المربع:

$$\int \sec ^2 x d x=\tan x+C$$

• $\frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^2 x$.
• دالة القاطع المربع:

$$\int \csc ^2 x d x=-\cot x+C$$

• دالة القاطع مضروبة في دالة الظل:

$$\int \sec x \tan x d x=\sec x+C$$

• دالة القاطع مضروبة في دالة الجيب:

$$\int \csc x \cot x d x=-\csc x+C$$

5. التكامل العكسي للدالة اللوغاريتمية:

• على الرغم من أن دالة اللوغاريتم الطبيعي $\ln x$ ليس لديها صيغة أساسية للتكامل العكسي، يمكن تكاملها باستخدام التكامل بالتجزئة (الموضح لاحقًا).

لماذا يجب حفظ هذه الصيغ؟

• الكفاءة: التعرف على الأشكال القياسية يسرع من حل المشكلات.
• الأساس: إنها اللبنات الأساسية للتكاملات الأكثر تعقيدًا.
• التعددية: قابلة للتطبيق في مختلف المشكلات الرياضية والعالمية.

كيف تستخدم تدوين التكامل غير المحدد للتكاملات العكسية؟

فهم التدوين

التدوين الخاص بالتكامل غير المحدد $\int f(x) d x$ يمثل جميع الدوال المضادة لـ $f(x)$.

• علامة التكامل $\int:$ ترمز إلى عملية التكامل.
• الدالة المدمجة $f(x)$ : الدالة التي يتم تكاملها.
• الفرق $d x$ : يشير إلى متغير التكامل.
• ثابت التكامل $+C$ : يأخذ في الاعتبار جميع الدوال المضادة الممكنة التي تختلف عن بعضها البعض بثابت.

مثال:

بالنظر إلى $f(x)=3 x^2$، ابحث عن $\int f(x) d x$. الحل:

$$\int u d v=u v-\int v d u$$

الخطوات:

1. اختر $u$ و $d v$ :

• دع $u=\ln x$ (لأنه أسهل في الاشتقاق).
• دع $d v=d x$ (لأن تكامل $d x$ سهل).

2. احسب $d u$ و $v$ :

• $d u=\frac{1}{x} d x$
• $v=x$

3. طبق الصيغة:

$$\int \ln x d x=x \ln x-\int x\left(\frac{1}{x}\right) d x=x \ln x-\int 1 d x=x \ln x-x+C$$

الجواب:

$$\int \ln x d x=x \ln x-x+C$$

ما هو الدالة المضادة لـ $\sin x$ ؟ كما تم مناقشته سابقًا:

$$\int \sin x d x=-\cos x+C$$

تذكر:

• مشتقة $-\cos x$ هي $\sin x$.
• الإشارة السلبية مهمة؛ إغفالها يؤدي إلى دالة مضادة غير صحيحة.

ما هو الدالة المضادة لـ $\cos x$ ؟

$$\int \cos x d x=\sin x+C$$

النقطة الرئيسية:

• مشتقة $\sin x$ هي $\cos x$، لذا فإن الدالة المضادة لـ $\cos x$ هي $\sin x+C$.

ما هو الدالة المضادة لـ $\tan x$ ؟

$$\int \tan x d x=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C$$

الشرح:

• باستخدام الهوية $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ وتقنيات التكامل، نصل إلى الدالة المضادة التي تتضمن لوغاريتم.

ما هو الدالة المضادة لـ $\ln x$ ؟

باستخدام التكامل بالتجزئة:

$$\int \ln x d x=x \ln x-x+C$$

فهم التكامل بالتجزئة:

• التكامل بالتجزئة مستمد من قاعدة المنتج للاشتقاق.
• إنه مفيد عندما تكون الدالة المدمجة هي ناتج دالتين حيث تصبح إحدى الدالتين أبسط عند الاشتقاق.

ما هو الدالة المضادة لـ $\frac{1}{x}$ ؟

$$\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$$

ملاحظة مهمة:

• الدالة $\frac{1}{x}$ فريدة لأن مشتقتها تتضمن لوغاريتم.
• القيمة المطلقة تضمن أن اللوغاريتم معرف للقيم السلبية من $x$.

ما هي المشتقة العكسية لـ $\sec x$؟

$$\int \sec x d x=\ln |\sec x+\tan x|+C$$

لماذا هذا مفيد؟

• المشتقة العكسية لـ $\sec x$ ليست واضحة على الفور، لكنها أساسية في حل التكاملات التي تتضمن دوال السيكانت.
• إنها مفيدة بشكل خاص في مسائل الاستبدال المثلثي والتكامل.

كيف تعمل المشتقات العكسية المثلثية؟

فهم الدوال المثلثية

تصف الدوال المثلثية العلاقات في المثلثات القائمة والظواهر الدورية. معرفة مشتقاتها العكسية أمر حيوي في حساب التفاضل.

المشتقات العكسية المثلثية الشائعة

1. الجيب وجيب التمام:

• $\int \sin x d x=-\cos x+C$
• $\int \cos x d x=\sin x+C$

2. الظل والظل المعاكس:

• $\int \tan x d x=-\ln |\cos x|+C$
• $\int \cot x d x=\ln |\sin x|+C$

3. السيكانت والكو سيكانت:

• $\int \sec x d x=\ln |\sec x+\tan x|+C$
• $\int \csc x d x=-\ln |\csc x+\cot x|+C$

4. السيكانت المربعة والكو سيكانت المربعة:

• $\int \sec ^2 x d x=\tan x+C$
• $\int \csc ^2 x d x=-\cot x+C$

نصائح للتكاملات المثلثية

• احفظ المشتقات العكسية الرئيسية: معرفة هذه عن ظهر قلب توفر الوقت.
• استخدم الهويات: يمكن أن تبسط الهويات المثلثية التكاملات.
• الاستبدال: أحيانًا يجعل تغيير المتغيرات التكامل قابلًا للإدارة.

كيف يمكن لمحول المشتقات العكسية Mathos AI مساعدتك؟

تقديم محول المشتقات العكسية Mathos AI مع الخطوات

محول المشتقات العكسية Mathos AI هو أداة قوية مصممة لمساعدتك في العثور على المشتقات العكسية، خاصة عندما تصبح الحسابات اليدوية معقدة.

الميزات والفوائد

• حلول خطوة بخطوة:
• تفصل عملية التكامل إلى خطوات مفهومة.
• تساعدك على تعلم المنهجية وراء الحل.
• التعامل مع الدوال المعقدة:
• قادرة على تكامل الدوال التي تتضمن تعبيرات مثلثية، أسية، لوغاريتمية، وعقلانية.
• واجهة مستخدم سهلة:
• طرق إدخال بديهية للتعبيرات الرياضية.
• نتائج فورية مع شروحات واضحة.
• مورد تعليمي:
• تعزز التعلم من خلال إظهار ليس فقط الإجابة ولكن أيضًا العملية.
• مفيدة للتحقق من الواجبات وفهم الأخطاء.

مثال:

المشكلة: ابحث عن المشتق العكسي لـ $f(x)=\tan x$.

باستخدام آلة حاسبة Mathos AI:

• الإدخال: $\tan (\mathrm{x})$
• الإخراج:

$$\int \tan x d x=-\ln |\cos x|+C$$

• الخطوات المقدمة:
• تظهر استبدال $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$.
• توضح عملية التكامل باستخدام الاستبدال.

ما هو رمز المشتق العكسي وماذا يعني؟

فهم رمز المشتق العكسي

رمز المشتق العكسي هو علامة التكامل، يُشار إليها بـ $\int$. وهي مشتقة من حرف " $S$ " الممتد، الذي يمثل مفهوم الجمع.

مكونات تدوين التكامل غير المحدد:

• علامة التكامل $\int:$ تشير إلى عملية التكامل.
• الدالة المدمجة $f(x)$ : الدالة التي تقوم بتكاملها.
• التفاضل $d x$ : تشير إلى المتغير الذي تقوم بالتكامل بالنسبة له.
• ثابت التكامل $+C$ : يمثل جميع المشتقات العكسية الممكنة.

السياق التاريخي

• قدم غوتفريد فيلهلم لايبنيز علامة التكامل في أواخر القرن السابع عشر.
• ترمز إلى جمع كميات صغيرة لانهائية لإيجاد المساحات، الأحجام، وتجميعات أخرى.

التمثيل البصري

• علامة التكامل: تشبه " $S$ " لـ "المجموع."
• التفاضل $d x$ : يمثل تغييرًا صغيرًا للغاية في $x$.

$$\int 3 x^2 d x=3 \int x^2 d x=3\left(\frac{x^3}{3}\right)+C=x^3+C$$

• هنا، $F(x)=x^3+C$ هو المشتق العكسي العام لـ $f(x)$.

التفسير:

• التكامل كجمع: علامة التكامل تنشأ من مفهوم جمع كميات صغيرة بلا حدود.
• القابلية للعكس: التكامل يعكس التفاضل، لذا فإن تكامل مشتق يعيد الدالة الأصلية (بالإضافة إلى $C$ ).

كيف تجد الدالة المضادة للدوال الشائعة؟

دعونا نستكشف الدوال المضادة لبعض الدوال الشائعة، بما في ذلك الدوال المثلثية واللوغاريتمية.

الدالة المضادة لـ $\sin x$

$$\int \sin x d x=-\cos x+C$$

الشرح:

• مشتق $-\cos x$ هو $\sin x$.
• لذلك، الدالة المضادة لـ $\sin x$ هي $-\cos x+C$.

الدالة المضادة لـ $\cos x$

$$\int \cos x d x=\sin x+C$$

الشرح:

• مشتق $\sin x$ هو $\cos x$.
• وبالتالي، الدالة المضادة لـ $\cos x$ هي $\sin x+C$.

الدالة المضادة لـ $\tan x$

لإيجاد $\int \tan x d x$، يمكننا استخدام هوية لوغاريتمية.

الاشتقاق:

1. تذكر أن $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$.
2. أعد كتابة التكامل:

$$\int \tan x d x=\int \frac{\sin x}{\cos x} d x$$

3. دع $u=\cos x$، ثم $d u=-\sin x d x$، لذا $-d u=\sin x d x$.
4. استبدل:

$$\int \frac{\sin x}{\cos x} d x=-\int \frac{1}{u} d u=-\ln |u|+C=-\ln |\cos x|+C$$

الجواب:

$$\int \tan x d x=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C$$

• كلا الشكلين صحيحان بسبب الهوية اللوغاريتمية $\ln |\sec x|=-\ln |\cos x|$.

الدالة المضادة لـ $\sec x$

$$\int \sec x d x=\ln |\sec x+\tan x|+C$$

الاشتقاق:

1. اضرب البسط والمقام في $\sec x+\tan x$ :

$$\int \sec x d x=\int \frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x} d x$$

2. دع $u=\sec x+\tan x$، ثم $d u=\left(\sec x \tan x+\sec ^2 x\right) d x$.
3. اعترف أن $\sec x(\sec x+\tan x) d x=d u$.
4. استبدل وادمج:

$$\int \frac{d u}{u}=\ln |u|+C=\ln |\sec x+\tan x|+C$$

الدالة المضادة لـ $\frac{1}{x}$

$$\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$$

الشرح:

• مشتق $\ln |x|$ هو $\frac{1}{x}$ لـ $x \neq 0$.
• القيمة المطلقة تضمن أن الدالة معرفة لـ $x$ السالب.

التكامل غير المحدد لـ $\ln x$

إيجاد $\int \ln x d x$ يتطلب التكامل بالتجزئة. صيغة التكامل بالتجزئة:

ما هي بعض الأمثلة على إيجاد التكاملات غير المحددة؟

دعونا نعمل من خلال عدة أمثلة لتعزيز فهمك.

المثال 1: التكامل غير المحدد لـ $3 x^2$

المشكلة:

إيجاد $\int 3 x^2 d x$

الحل:

1. تحديد نوع الدالة:

• دالة متعددة الحدود.

2. تطبيق قاعدة القوة:

$$\int x^n d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

3. حساب التكامل غير المحدد:

$$\int 3 x^2 d x=3 \int x^2 d x=3\left(\frac{x^3}{3}\right)+C=x^3+C$$

الإجابة:

$$\int 3 x^2 d x=x^3+C$$

المثال 2: التكامل غير المحدد لـ $e^{2 x}$

المشكلة:

إيجاد $\int e^{2 x} d x$.

الحل:

1. استخدم التعويض:

• دع $u=2 x$، لذا $d u=2 d x$، مما يعني أن $d x=\frac{d u}{2}$.

2. استبدل في التكامل:

$$\int e^{2 x} d x=\int e^u \cdot \frac{d u}{2}=\frac{1}{2} \int e^u d u$$

3. التكامل:

$$\frac{1}{2} \int e^u d u=\frac{1}{2} e^u+C$$

4. العودة إلى التعويض $u=2 x$ :

$$\frac{1}{2} e^{2 x}+C$$

الإجابة:

$$\int e^{2 x} d x=\frac{1}{2} e^{2 x}+C$$

المثال 3: التكامل غير المحدد لـ $\frac{1}{x}$

المشكلة:

إيجاد $\int \frac{1}{x} d x$.

الحل:

• تطبيق الصيغة مباشرة:

$$\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$$

الإجابة:

$$\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$$

المثال 4: التكامل غير المحدد لـ $\sec ^2 x$

المشكلة:

إيجاد $\int \sec ^2 x d x$.

الحل:

• تذكر أن $\frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^2 x$.
• لذلك:

$$\int \sec ^2 x d x=\tan x+C$$

الإجابة:

$$\int \sec ^2 x d x=\tan x+C$$

كيفية إيجاد التكامل غير المحدد؟

نهج خطوة بخطوة

1. تحديد نوع الدالة:

• التعرف على الأنماط والأشكال القياسية.

2. اختر الطريقة المناسبة:

• قواعد التكامل الأساسية: للوظائف البسيطة.
• الاستبدال: عندما يكون الدالة المدمجة دالة مركبة.
• التكامل بالتجزئة: لمنتجات الدوال.
• الكسور الجزئية: للدوال الكسرية.

3. قم بإجراء التكامل:

• طبق القواعد أو الطرق بعناية.
• قم بتبسيط الدالة المدمجة إذا لزم الأمر.

4. أضف ثابت التكامل:

• أضف $+C$ في إجابتك النهائية.

نصائح للنجاح

• مارس بانتظام: الألفة تأتي مع الممارسة.
• افهم، لا تحفظ: استوعب المنطق وراء كل خطوة.
• استخدم الموارد: أدوات مثل آلة حساب الرياضيات Mathos AI يمكن أن تساعد في التعلم.
• تحقق من عملك: قم بتفريق نتيجتك لترى إذا كنت تحصل على الدالة الأصلية.

الخاتمة

الدوال العكسية هي حجر الزاوية في حساب التفاضل والتكامل، مما يمكننا من عكس عملية التفاضل والعثور على الدوال الأصلية من معدلات تغيرها. إتقان الدوال العكسية يفتح الأبواب لحل مشاكل معقدة في الرياضيات، والفيزياء، والهندسة، والاقتصاد، وأكثر.

النقاط الرئيسية:

• فهم القواعد الأساسية: الألفة مع صيغ الدوال العكسية الأساسية أمر ضروري.
• التعرف على الأنماط: تحديد أنواع الدوال يبسط عملية التكامل.
• استخدام الأدوات: موارد مثل آلة حساب الدوال العكسية Mathos AI مع خطوات تعزز التعلم والكفاءة.
• الممارسة المستمرة: حل المشكلات بانتظام يعزز الفهم والاحتفاظ.

بينما تواصل رحلتك الرياضية، تذكر أن الدوال العكسية ليست مجرد مفاهيم مجردة ولكنها أدوات قوية نمذجة وحل الظواهر الواقعية.

الأسئلة الشائعة

1. كيف تجد الدالة العكسية لدالة؟

لإيجاد التكامل العكسي:

• تحديد نوع الدالة.
• تطبيق قاعدة أو صيغة التكامل العكسي المناسبة.
• استخدام تقنيات التكامل مثل التعويض أو التكامل بالتجزئة إذا لزم الأمر.
• إضافة ثابت التكامل $C$.

2. ما هو التكامل العكسي لـ $\ln x$ ؟

$$\int \ln x d x=x \ln x-x+C$$

3. ما هو التكامل العكسي لـ $\cos x$ ؟

$$\int \cos x d x=\sin x+C$$

4. ما هي قواعد التكامل العكسي؟

تشمل قواعد التكامل العكسي:

• قاعدة القوة: $\int x^n d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (لـ $n \neq-1$ )

• الدوال الأسية: $\int e^x d x=e^x+C$

• الدوال المثلثية: تكاملات عكسية محددة لـ $\sin x, \cos x, \tan x$، إلخ.

• الدوال اللوغاريتمية: $\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$

5. كيف تستخدم تدوين التكامل غير المحدد للتكاملات العكسية؟

• يمثل تدوين التكامل غير المحدد $\int f(x) d x$ التكامل العكسي لـ $f(x)$ بالنسبة لـ $x$.
• يتضمن ثابت التكامل $C$، مما يأخذ في الاعتبار جميع التكاملات العكسية الممكنة.

6. ما هو التكامل العكسي لـ $\tan x$ ؟

$$\int \tan x d x=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C$$

7. كيف يمكنني استخدام آلة حساب التكامل العكسي Mathos AI مع الخطوات؟

• أدخل الدالة التي ترغب في تكاملها على واجهة الآلة الحاسبة.
• اختر متغير التكامل (عادةً $x$ ).
• انقر على حساب للحصول على التكامل العكسي وحل خطوة بخطوة.

8. لماذا يعتبر ثابت التكامل مهمًا؟

• يمثل الثابت $C$ جميع التحولات الرأسية الممكنة للتكامل العكسي.
• يضمن أن جميع الدوال التي مشتقتها هي $f(x)$ مشمولة.
• إغفال $C$ يعني فقدان عدد لا نهائي من التكاملات العكسية الصحيحة.