Mathos AI | آلة حاسبة للدوال الكسرية

المفهوم الأساسي لحساب الدوال الكسرية

ما هي حسابات الدوال الكسرية؟

يتضمن حساب الدالة الكسرية معالجة وتبسيط وتحليل الدوال الكسرية. الدالة الكسرية هي دالة يمكن التعبير عنها كنسبة بين دالتي كثيرات الحدود:

$$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$$

حيث (p(x)) و (q(x)) هما دالتا كثيرات الحدود، و (q(x)) ليست صفرًا مطابقًا. هذه الحسابات ضرورية في الجبر، وحساب التفاضل والتكامل، وحساب المثلثات، والعديد من المجالات التطبيقية. تشمل المهارات الأساسية تبسيط التعابير، وإجراء العمليات الحسابية (الجمع، والطرح، والضرب، والقسمة)، وحل المعادلات، والرسم البياني.

على سبيل المثال،

$$f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$$

هي دالة كسرية.

فهم مكونات الدوال الكسرية

لفهم الدوال الكسرية، من المهم فهم مكوناتها:

• كثيرات الحدود: تُبنى الدوال الكسرية من كثيرات الحدود. كثيرة الحدود هي تعبير يتكون من متغيرات ومعاملات، ويتضمن فقط عمليات الجمع والطرح والضرب وأسس الأعداد الصحيحة غير السالبة. تتضمن الأمثلة: (x^2 + 3x - 5)، (2x^5 - 1)، و (7).

• البسط: كثيرة الحدود (p(x)) في الدالة الكسرية (f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}) هي البسط.

• المقام: كثيرة الحدود (q(x)) في الدالة الكسرية (f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}) هي المقام. لا يمكن أن يكون المقام صفرًا، لأن القسمة على صفر غير معرّفة. هذا يؤدي إلى قيود على مجال الدالة الكسرية.

• المجال: مجال الدالة الكسرية هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية باستثناء قيم (x) التي تجعل المقام صفرًا. هذه القيم المستبعدة ضرورية لتحديد خطوط التقارب الرأسية والثقوب.

على سبيل المثال، في الدالة الكسرية

$$f(x) = \frac{x + 1}{x - 3}$$

البسط هو (x + 1)، والمقام هو (x - 3)، والمجال هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء (x = 3).

كيفية إجراء حساب الدالة الكسرية

دليل خطوة بخطوة

1. تبسيط التعابير الكسرية:

• التحليل إلى عوامل: حلل كلاً من البسط والمقام إلى عواملهما الأولية.
• الإلغاء: حدد وألغِ أي عوامل مشتركة بين البسط والمقام.
• القيود: لاحظ أي قيم لـ (x) تجعل المقام الأصلي صفرًا. هذه القيم ليست في مجال الدالة الأصلية، حتى بعد التبسيط.

على سبيل المثال، بسّط

$$\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}$$

• حلل إلى عوامل:

$$\frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x + 1)}$$

• ألغ:

$$\frac{x - 1}{x + 1}, x \neq -1$$

2. ضرب التعابير الكسرية:

• حلل جميع البسطات والمقامات إلى عوامل.
• ألغِ العوامل المشتركة.
• اضرب البواقي في البسطات والمقامات.

على سبيل المثال،

$$\frac{x}{x+2} \cdot \frac{x+2}{x-3} = \frac{x(x+2)}{(x+2)(x-3)} = \frac{x}{x-3}, x \neq -2, x \neq 3$$

3. قسمة التعابير الكسرية:

• اقلب التعبير الكسري الثاني (المقسوم عليه).
• اضرب التعبير الكسري الأول في التعبير الكسري الثاني المقلوب.
• بسّط التعبير الناتج.

على سبيل المثال،

$$\frac{x+1}{x} \div \frac{x+1}{x^2} = \frac{x+1}{x} \cdot \frac{x^2}{x+1} = \frac{(x+1)x^2}{x(x+1)} = x, x \neq 0, x \neq -1$$

4. جمع وطرح التعابير الكسرية:

• أوجد المضاعف المشترك الأصغر (LCD) للتعابير الكسرية.
• أعد كتابة كل تعبير كسري بحيث يكون المقام هو المضاعف المشترك الأصغر.
• اجمع أو اطرح البسطات، مع الاحتفاظ بالمقام المشترك.
• بسّط التعبير الناتج.

على سبيل المثال،

$$\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1}$$

• المضاعف المشترك الأصغر: (x(x+1))
• أعد الكتابة:

$$\frac{1(x+1)}{x(x+1)} + \frac{2x}{x(x+1)} = \frac{x+1+2x}{x(x+1)} = \frac{3x+1}{x(x+1)}, x \neq 0, x \neq -1$$

5. حل المعادلات الكسرية:

• أوجد المضاعف المشترك الأصغر لجميع التعابير الكسرية في المعادلة.
• اضرب كلا طرفي المعادلة في المضاعف المشترك الأصغر لإزالة المقامات.
• حل معادلة كثير الحدود الناتجة.
• تحقق من الحلول الدخيلة عن طريق استبدال كل حل مرة أخرى في المعادلة الأصلية.

على سبيل المثال، حل لـ (x) في المعادلة:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$

• المضاعف المشترك الأصغر: (6x)
• اضرب: (6x(\frac{1}{x} + \frac{1}{2}) = 6x(\frac{1}{3}))
• بسّط: (6 + 3x = 2x)
• حل: (x = -6)
• تحقق: (\frac{1}{-6} + \frac{1}{2} = \frac{-1 + 3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}). الحل صالح.

الأخطاء الشائعة وكيفية تجنبها

• نسيان التحليل إلى عوامل: حلل دائمًا البسط والمقام بالكامل قبل التبسيط. هذا ضروري لتحديد العوامل المشتركة والقيود على المتغير.

• إلغاء الحدود بشكل غير صحيح: لا يمكن إلغاء سوى العوامل المشتركة، وليس الحدود. على سبيل المثال، في (\frac{x+2}{x+3})، لا يمكنك إلغاء حدود (x).

• تجاهل القيود: حدد دائمًا وذكر القيود على المتغير. هذه هي القيم التي تجعل المقام الأصلي صفرًا. هذه مهمة لتحديد المجال وتحديد خطوط التقارب الرأسية والثقوب.

• فقدان الحلول الدخيلة: عند حل المعادلات الكسرية، تحقق دائمًا من حلولك في المعادلة الأصلية للتأكد من أنها صالحة. الحلول التي تجعل المقام صفرًا تكون دخيلة.

• أخطاء في الإشارات السالبة: كن حذرًا للغاية بشأن الإشارات السالبة، خاصة عند طرح التعابير الكسرية. وزّع الإشارة السالبة بشكل صحيح على جميع الحدود في البسط.

حساب الدالة الكسرية في العالم الحقيقي

التطبيقات في العلوم والهندسة

تستخدم الدوال الكسرية على نطاق واسع في مجالات مختلفة:

• الفيزياء: وصف العلاقات بين الكميات، مثل القوة والمسافة (على سبيل المثال، قانون كولوم).

• الكيمياء: نمذجة معدلات التفاعل والتركيزات في التفاعلات الكيميائية.

• الهندسة الكهربائية: تحليل الدوائر ومعالجة الإشارات. على سبيل المثال، يمكن تمثيل المعاوقة في دوائر التيار المتردد بواسطة دوال كسرية.

• الاقتصاد: نمذجة نسب التكلفة والفائدة والمؤشرات الاقتصادية الأخرى.

أمثلة عملية ودراسات حالة

1. مشاكل الخلط (الكيمياء): لنفترض أن لديك 10 لترات من محلول ملحي بتركيز 20%. تريد زيادة التركيز إلى 30%. ما كمية المحلول الملحي النقي (تركيز 100%) التي يجب إضافتها؟

ليكن (x) كمية المحلول الملحي النقي المراد إضافتها. سيكون الحجم الإجمالي (10 + x). كمية الملح في المحلول الأولي هي (0.20 \cdot 10 = 2) لتر. كمية الملح في المحلول النهائي هي (2 + x). يتم إعطاء تركيز المحلول النهائي بواسطة:

$$\frac{2 + x}{10 + x} = 0.30$$

حل لـ (x):

$$2 + x = 0.30(10 + x) \\ 2 + x = 3 + 0.30x \\ 0.70x = 1 \\ x = \frac{1}{0.70} \approx 1.43 \text{ liters}$$

إذن، تحتاج إلى إضافة ما يقرب من 1.43 لتر من المحلول الملحي النقي.

2. الدوائر الكهربائية (الهندسة): يتم إعطاء المعاوقة (Z) لدائرة متوازية تحتوي على مقاوم (R) ومكثف (C) بواسطة:

$$\frac{1}{Z} = \frac{1}{R} + j\omega C$$

حيث (j) هي الوحدة التخيلية و (\omega) هي التردد الزاوي. يمكننا حل لـ (Z) للتعبير عنها كدالة كسرية:

$$\frac{1}{Z} = \frac{1 + j\omega RC}{R} \\ Z = \frac{R}{1 + j\omega RC}$$

الأسئلة الشائعة حول حساب الدالة الكسرية

ما هو الفرق بين الدالة الكسرية ودالة كثير الحدود؟

دالة كثير الحدود هي دالة يمكن كتابتها في الصورة (p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0)، حيث (n) عدد صحيح غير سالب والمعاملات (a_i) ثوابت.

الدالة الكسرية هي دالة يمكن كتابتها كنسبة بين دالتي كثيرات الحدود، (f(x) = \frac{p(x)}{q(x)})، حيث (p(x)) و (q(x)) هما دالتا كثيرات الحدود و (q(x)) ليست دالة الصفر.

باختصار، دالة كثير الحدود هي نوع معين من الدوال الكسرية حيث المقام يساوي 1.

كيف تجد خطوط التقارب للدالة الكسرية؟

• خطوط التقارب الرأسية: تحدث هذه عند قيم (x) حيث يكون مقام الدالة الكسرية المبسطة صفرًا. للعثور عليها، حل (q(x) = 0) لـ (x)، حيث (q(x)) هو المقام بعد التبسيط.

• خطوط التقارب الأفقية: تصف هذه سلوك الدالة عندما يقترب (x) من اللانهاية الموجبة أو السالبة. تعتمد القاعدة على درجات البسط (p(x)) والمقام (q(x)):

• إذا كانت درجة((p(x))) < درجة((q(x)))، فإن خط التقارب الأفقي هو (y = 0).

• إذا كانت درجة((p(x))) = درجة((q(x)))، فإن خط التقارب الأفقي هو (y = \frac{\text{المعامل الرئيسي لـ } p(x)}{\text{المعامل الرئيسي لـ } q(x)}).

• إذا كانت درجة((p(x))) > درجة((q(x)))، فلا يوجد خط تقارب أفقي (ولكن قد يكون هناك خط تقارب مائل).

• خطوط التقارب المائلة (المائلة): تحدث هذه عندما تكون درجة البسط أكبر بواحد بالضبط من درجة المقام. للعثور على خط التقارب المائل، قم بإجراء قسمة مطولة لكثير الحدود (p(x)) على (q(x)). الناتج (بدون الباقي) هو معادلة خط التقارب المائل.

هل يمكن أن يكون للدوال الكسرية ثقوب؟

نعم، يمكن أن يكون للدوال الكسرية ثقوب (انقطاعات قابلة للإزالة). تحدث الثقب عندما يتم إلغاء عامل من كل من البسط والمقام أثناء التبسيط. الإحداثي السيني للثقب هو القيمة التي تجعل العامل الملغى يساوي صفرًا. للعثور على الإحداثي الصادي للثقب، استبدل الإحداثي السيني في الدالة الكسرية المبسطة.

على سبيل المثال:

$$f(x) = \frac{(x-2)(x+1)}{x-2}$$

هنا لدينا ثقب عند (x=2). بعد التبسيط نحصل على (f(x) = x+1). ثم، للعثور على الإحداثي الصادي، نقوم بـ (f(2) = 2+1 = 3). إذن يقع الثقب عند ((2,3)).

كيف تبسط دالة كسرية معقدة؟

الدالة الكسرية المعقدة هي دالة كسرية تحتوي على تعبير كسري واحد أو أكثر في بسطها أو مقامها أو كليهما. لتبسيط دالة كسرية معقدة:

1. بسّط البسط والمقام بشكل منفصل: اجمع أي كسور في البسط واجمع أي كسور في المقام.
2. اقسم البسط المبسط على المقام المبسط: هذا هو نفسه ضرب البسط في مقلوب المقام.
3. بسّط التعبير الكسري الناتج: حلل إلى عوامل وألغِ العوامل المشتركة.

على سبيل المثال:

$$\frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{1}{x^2} - 1} = \frac{\frac{1+x}{x}}{\frac{1-x^2}{x^2}} = \frac{1+x}{x} \cdot \frac{x^2}{1-x^2} = \frac{(1+x)x^2}{x(1-x)(1+x)} = \frac{x}{1-x}, x \neq 0, x \neq -1, x \neq 1$$

ما هي بعض الاستخدامات الشائعة للدوال الكسرية في الحياة اليومية؟

على الرغم من عدم التعرف عليها دائمًا بشكل صريح، إلا أن الدوال الكسرية تستخدم في:

• كفاءة استهلاك الوقود: يتضمن حساب الأميال لكل جالون (MPG) نسبة المسافة المقطوعة إلى الوقود المستهلك، والتي يمكن نمذجتها بواسطة دالة كسرية.
• الطبخ: غالبًا ما تتضمن الوصفات نسبًا من المكونات. يستخدم تغيير حجم الوصفات لأعلى أو لأسفل دوال كسرية.
• الرياضة: يتضمن حساب متوسطات الضرب (الضربات/عدد مرات الضرب) أو النسب الإحصائية الأخرى دوال كسرية.
• التمويل: يتضمن حساب أسعار الفائدة أو العائد على الاستثمار (ROI) أو النسب المالية الأخرى دوال كسرية.
• البناء: يتضمن تحديد ميول الأسقف أو المنحدرات نسبًا (الارتفاع/المسافة الأفقية).