Mathos AI | آلة حاسبة للمتتالية الهندسية

المفهوم الأساسي لحساب المتتالية الهندسية

ما هو حساب المتتالية الهندسية؟

يتضمن حساب المتتالية الهندسية العمل مع المتتاليات حيث يتم إيجاد كل حد بضرب الحد السابق بقيمة ثابتة. تسمى هذه القيمة الثابتة النسبة المشتركة. إن فهم المتتاليات الهندسية أمر بالغ الأهمية لفهم مفاهيم مثل النمو والتضاؤل الأسي، والتي تظهر في العديد من مجالات الدراسة. على عكس المتتاليات الحسابية، التي تتضمن إضافة فرق ثابت، فإن المتتاليات الهندسية تتضمن الضرب.

• التعريف: متتالية تكون فيها النسبة بين الحدود المتتالية ثابتة.
• مثال: 1، 3، 9، 27، 81... (النسبة المشتركة = 3)
• التناقض مع المتتاليات الحسابية: تضيف المتتاليات الحسابية ثابتًا (مثل 1، 5، 9، 13...)، بينما تضرب المتتاليات الهندسية بثابت.

فهم النسبة المشتركة

النسبة المشتركة هي حجر الزاوية في المتتالية الهندسية. إنه العامل الثابت الذي تضرب فيه أحد الحدود للحصول على الحد التالي.

• التعريف: العامل الثابت بين الحدود المتتالية في المتتالية الهندسية.
• الحساب: قسّم أي حد على الحد الذي يسبقه لإيجاد النسبة المشتركة.

مثال: في المتتالية 2، 4، 8، 16...، النسبة المشتركة هي 4/2 = 2.

• إذا كانت النسبة المشتركة أكبر من 1، فإن المتتالية تزداد بشكل أسي.
• إذا كانت النسبة المشتركة بين 0 و1، فإن المتتالية تتناقص بشكل أسي.
• إذا كانت النسبة المشتركة سالبة، فإن الحدود تتناوب في الإشارة.

كيفية إجراء حساب المتتالية الهندسية

دليل خطوة بخطوة

1. تحديد ما إذا كانت المتتالية هندسية: تحقق مما إذا كانت هناك نسبة ثابتة بين الحدود المتتالية.
2. تحديد الحد الأول (a) والنسبة المشتركة (r): الحد الأول هو ببساطة الرقم الأول في المتتالية. يتم إيجاد النسبة المشتركة بقسمة أي حد على الحد الذي يسبقه.
3. اختر الصيغة المناسبة: اعتمادًا على ما تحتاج إلى إيجاده (الحد النوني، مجموع الحدود، إلخ)، حدد الصيغة الصحيحة.
4. استبدل القيم: أدخل قيم a وr وn (إذا لزم الأمر) في الصيغة.
5. احسب النتيجة: قم بإجراء العمليات الحسابية لإيجاد القيمة المطلوبة.
6. تحقق من إجابتك: هل إجابتك منطقية في سياق المشكلة؟

أمثلة على حساب المتتالية الهندسية

المثال 1: إيجاد الحد النوني

المسألة: أوجد الحد السابع في المتتالية الهندسية 4، 8، 16، 32...

1. هندسية؟ نعم، يتم ضرب كل حد في 2 للحصول على الحد التالي.
2. a و r: a = 4، r = 8/4 = 2
3. الصيغة: يتم إعطاء الحد النوني بواسطة:

$$a_n = a * r^(n-1)$$

4. الاستبدال: نريد الحد السابع، إذن n = 7. لذلك،

$$a_7 = 4 * 2^(7-1) = 4 * 2^6$$

5. الحساب:

$$a_7 = 4 * 64 = 256$$

الحد السابع هو 256. 6. التحقق: تستمر المتتالية 4، 8، 16، 32، 64، 128، 256. يبدو صحيحًا!

المثال 2: إيجاد مجموع أول n حد

المسألة: أوجد مجموع أول 5 حدود في المتتالية الهندسية 1، 2، 4، 8، 16...

1. هندسية؟ نعم، يتم ضرب كل حد في 2.
2. a و r: a = 1، r = 2/1 = 2
3. الصيغة: يتم إعطاء مجموع أول n حد بواسطة:

$$S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)$$

4. الاستبدال: نريد مجموع أول 5 حدود، إذن n = 5. لذلك،

$$S_5 = 1 * (1 - 2^5) / (1 - 2)$$

5. الحساب:

$$S_5 = 1 * (1 - 32) / (-1) = 1 * (-31) / (-1) = 31$$

مجموع أول 5 حدود هو 31. 6. التحقق: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. يبدو صحيحًا!

المثال 3: إيجاد النسبة المشتركة

المسألة: الحد الأول في متتالية هندسية هو 5 والحد الثالث هو 20. أوجد النسبة المشتركة.

1. هندسية؟ قيل لنا أنها متتالية هندسية.
2. a و a_n: a = 5، a_3 = 20
3. الصيغة:

$$r = (a_n / a)^(1/(n-1))$$

4. الاستبدال:

$$r = (20/5)^(1/(3-1)) = (4)^(1/2)$$

5. الحساب:

$$r = 2$$

النسبة المشتركة هي 2. لاحظ أن -2 هي أيضًا نسبة صحيحة، لأن الحد الثالث موجب، إما r = 2 أو r = -2 سيفي بالشرط. 6. التحقق: 5 * 2 = 10، 10 * 2 = 20. إنها تعمل.

المثال 4:

الحد الأول في متتالية هندسية هو 3، والنسبة المشتركة هي 2. ما هو الحد السادس في المتتالية؟ أيضًا، ما هو مجموع أول 6 حدود في المتتالية؟

إيجاد الحد السادس:

• الصيغة: يتم إعطاء الحد النوني (a_n) لمتتالية هندسية بواسطة:

$$a_n = a_1 * r^(n-1)$$

حيث a_1 هو الحد الأول، r هي النسبة المشتركة، وn هو رقم الحد.

• التطبيق: في هذه الحالة، a_1 = 3، r = 2، وn = 6. لذلك، الحد السادس (a_6) هو:

$$a_6 = 3 * 2^(6-1) = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96$$

إذن، الحد السادس في المتتالية هو 96.

إيجاد مجموع أول 6 حدود:

• الصيغة: يتم إعطاء مجموع (S_n) أول n حد لمتتالية هندسية بواسطة:

$$S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)$$

حيث a_1 هو الحد الأول، r هي النسبة المشتركة، وn هو عدد الحدود.

• التطبيق: في هذه الحالة، a_1 = 3، r = 2، وn = 6. لذلك، فإن مجموع أول 6 حدود (S_6) هو:

$$S_6 = 3 * (1 - 2^6) / (1 - 2) = 3 * (1 - 64) / (-1) = 3 * (-63) / (-1) = 3 * 63 = 189$$

إذن، مجموع أول 6 حدود في المتتالية هو 189.

لذلك، الحد السادس هو 96، ومجموع أول 6 حدود هو 189.

حساب المتتالية الهندسية في العالم الحقيقي

تظهر المتتاليات الهندسية في العديد من السيناريوهات الواقعية، وغالبًا ما تتعامل مع النمو أو التضاؤل الأسي.

التطبيقات في مجال المال

• الفائدة المركبة: مبلغ المال المكتسب بالفائدة المركبة يتبع متتالية هندسية. في كل عام، يتم ضرب الرصيد في (1 + معدل الفائدة). مثال: إذا قمت بإيداع 100 في حساب يدفع فائدة مركبة بنسبة 5% سنويًا، فإن الأرصدة للسنوات القليلة الأولى تتبع متتالية هندسية مع a = 100 و r = 1.05: 100، 105، 110.25، ...
• الاستهلاك: قيمة الأصل الذي ينخفض بنسبة مئوية ثابتة كل عام تشكل أيضًا متتالية هندسية. مثال: إذا كانت السيارة تكلف 20000 وتستهلك بنسبة 10% كل عام، فإن قيمتها كل عام تتبع متتالية هندسية مع a = 20000 و r = 0.9: 20000، 18000، 16200، ...

التطبيقات في العلوم والهندسة

• نمو السكان: في ظل الظروف المثالية، يمكن نمذجة نمو السكان باستخدام متتالية هندسية. مثال: إذا تضاعف عدد السكان من البكتيريا كل ساعة، فإن حجم السكان في كل ساعة يتبع متتالية هندسية مع r = 2.
• التحلل الإشعاعي: كمية المادة المشعة المتبقية بعد كل نصف عمر تنخفض بطريقة هندسية. مثال: إذا كان للمادة المشعة نصف عمر يبلغ عامًا واحدًا، فإن الكمية المتبقية كل عام تتبع متتالية هندسية مع r = 0.5.
• الكسور الهندسية: غالبًا ما يعتمد بناء الكسور الهندسية على المتتاليات الهندسية.
• علوم الكمبيوتر: يتضمن تحليل التعقيد الزمني لبعض الخوارزميات المتتاليات الهندسية.
• الفيزياء: يمكن نمذجة التذبذبات والتذبذبات المخمدة باستخدام المتتاليات الهندسية.

الأسئلة الشائعة حول حساب المتتالية الهندسية

ما هي صيغة حساب المتتالية الهندسية؟

هناك العديد من الصيغ الرئيسية للمتتاليات الهندسية:

• الحد النوني:

$$a_n = a * r^(n-1)$$

حيث a هو الحد الأول، r هو النسبة المشتركة، وn هو رقم الحد.

• مجموع أول n حد (r ≠ 1):

$$S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)$$

حيث a هو الحد الأول، r هو النسبة المشتركة، وn هو عدد الحدود.

• مجموع أول n حد (r = 1):

$$S_n = n * a$$

• المجموع إلى اللانهاية (|r| < 1):

$$S_∞ = a / (1 - r)$$

حيث a هو الحد الأول، وr هو النسبة المشتركة. هذه الصيغة تعمل فقط إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة أقل من 1.

كيف تجد الحد النوني في متتالية هندسية؟

لإيجاد الحد النوني، استخدم الصيغة:

$$a_n = a * r^(n-1)$$

حيث:

• a_n هو الحد النوني
• a هو الحد الأول في المتتالية
• r هو النسبة المشتركة
• n هو موضع الحد الذي تريد إيجاده

مثال: أوجد الحد الخامس في المتتالية 2، 6، 18،... a = 2، r = 3، n = 5

$$a_5 = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162$$

إذن، الحد الخامس هو 162.

هل يمكن أن يكون للمتتالية الهندسية نسبة مشتركة تساوي 1؟

نعم، يمكن أن يكون للمتتالية الهندسية نسبة مشتركة تساوي 1. في هذه الحالة، ستكون جميع الحدود في المتتالية هي نفسها.

مثال: إذا كان الحد الأول هو 5 والنسبة المشتركة هي 1، فستكون المتتالية 5، 5، 5، 5...

مجموع أول n حد عندما r = 1 هو ببساطة n*a.

كيف يختلف حساب المتتالية الهندسية عن حساب المتتالية الحسابية؟

يكمن الاختلاف الرئيسي في كيفية إنشاء الحدود:

• المتتالية الهندسية: يتم إيجاد كل حد بضرب الحد السابق بنسبة ثابتة.
• المتتالية الحسابية: يتم إيجاد كل حد بإضافة فرق ثابت إلى الحد السابق.

الصيغ مختلفة أيضًا:

• الحد النوني الهندسي:

$$a_n = a * r^(n-1)$$

• الحد النوني الحسابي:

$$a_n = a + (n-1) * d$$

حيث d هو الفرق المشترك.

• المجموع الهندسي:

$$S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)$$

• المجموع الحسابي:

$$S_n = n/2 * [2a + (n-1)d]$$

ما هي بعض الأخطاء الشائعة في حساب المتتالية الهندسية؟

• الخلط بين المتتاليات الهندسية والحسابية: تحقق دائمًا مما إذا كانت المتتالية تتضمن الضرب (هندسية) أو الجمع (حسابية).
• حساب النسبة المشتركة بشكل غير صحيح: تأكد من قسمة الحد على الحد الذي يسبقه.
• استخدام الصيغة الخاطئة: استخدم صيغ المتتالية الهندسية فقط للمتتاليات الهندسية.
• تجاهل شرط |r| < 1 للمجموع إلى اللانهاية: تعمل صيغة المجموع إلى اللانهاية فقط إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة أقل من 1. إذا كانت |r| >= 1، فإن المتتالية تتباعد، والمجموع لا نهائي.
• أخطاء حسابية: تحقق جيدًا من جميع العمليات الحسابية لتجنب الأخطاء البسيطة.
• نسيان ترتيب العمليات: تذكر تطبيق الأس قبل الضرب.