Mathos AI | حاسبة النسبة المشتركة

المفهوم الأساسي لحساب النسبة المشتركة

ما هو حساب النسبة المشتركة؟

النسبة المشتركة هي مفهوم أساسي في الرياضيات، خاصةً في دراسة المتتاليات الهندسية (أو التقدم الهندسي). إنها بمثابة العامل الثابت بين الحدود المتتالية في المتتالية. فهم النسبة المشتركة أمر بالغ الأهمية لتحليل أنماط النمو والتضاؤل الأسي.

المتتالية الهندسية هي متتالية من الأرقام حيث يتم إيجاد كل حد بعد الحد الأول بضرب الحد السابق برقم ثابت غير صفري. هذا الرقم الثابت هو النسبة المشتركة.

النسبة المشتركة (غالبًا ما يُشار إليها بـ 'r') هي القيمة الثابتة التي يتم الحصول عليها بقسمة أي حد في المتتالية الهندسية على الحد الذي يسبقه. إنها تحدد العلاقة الضربية التي تحكم المتتالية.

كيفية حساب النسبة المشتركة:

لحساب النسبة المشتركة:

1. اختر أي حد في المتتالية (باستثناء الحد الأول).
2. اقسم هذا الحد على الحد الذي يسبقه (الحد السابق).

رياضيًا:

$$r = aₙ / a_{n-1}$$

حيث:

• r هي النسبة المشتركة
• aₙ هو أي حد في المتتالية
• a_{n-1} هو الحد الذي يسبق aₙ مباشرةً

أمثلة:

• المثال 1: المتتالية 3, 6, 12, 24, 48...

• اختر الحد 6. الحد الذي يسبقه هو 3.

• r = 6 / 3 = 2

• اختر الحد 12. الحد الذي يسبقه هو 6.

• r = 12 / 6 = 2

النسبة المشتركة هي 2.

• المثال 2: المتتالية 200, 50, 12.5, 3.125...

• اختر الحد 50. الحد الذي يسبقه هو 200.

• r = 50 / 200 = 0.25 أو 1/4

النسبة المشتركة هي 0.25.

• المثال 3: المتتالية -2, 4, -8, 16, -32...

• اختر الحد 4. الحد الذي يسبقه هو -2.

• r = 4 / -2 = -2

النسبة المشتركة هي -2.

أهمية فهم النسب المشتركة

النسبة المشتركة مهمة لـ:

• تحديد المتتاليات الهندسية: إنها تؤكد ما إذا كانت المتتالية هندسية.
• إيجاد الحدود المفقودة: إنها تسمح بحساب أي حد داخل المتتالية.
• جمع المتسلسلات الهندسية: إنها ضرورية لحساب مجموع المتسلسلات الهندسية. صيغة مجموع أول 'n' حد من متسلسلة هندسية هي:

$$Sₙ = a₁(1 - rⁿ) / (1 - r)$$

(حيث r ≠ 1)

• فهم التقارب والتباعد: إنها تحدد ما إذا كانت المتسلسلات الهندسية اللانهائية تتقارب أو تتباعد. إذا كان |r| < 1، تتقارب المتسلسلة إلى

$$a₁ / (1 - r)$$

إذا كان |r| ≥ 1، تتباعد المتسلسلة.

• تطبيقات في النمذجة الواقعية:
• نمو السكان: تمثل النسبة المشتركة (1 + معدل النمو).
• التحلل الإشعاعي: تمثل النسبة المشتركة الجزء المتبقي بعد كل فترة زمنية.
• الكسور الهندسية: يعتمد القياس الهندسي في الكسور الهندسية على النسبة المشتركة.

كيفية إجراء حساب النسبة المشتركة

دليل خطوة بخطوة

1. تحديد متتالية هندسية: تأكد من أن المتتالية هندسية، مما يعني أن كل حد يتم الحصول عليه بضرب الحد السابق بعامل ثابت.
2. اختيار حدين متتاليين: اختر أي حدين متجاورين في المتتالية. عادة ما يكون من الأسهل اختيار أول حدين، ولكن أي زوج سيفي بالغرض.
3. القسمة: اقسم الحد الثاني (الحد اللاحق) على الحد الأول (الحد السابق).
4. التحقق (اختياري ولكنه موصى به): للتأكيد، كرر القسمة بزوج آخر من الحدود المتتالية. إذا كانت النتيجة هي نفسها، فمن المحتمل أنك وجدت النسبة المشتركة الصحيحة.

مثال:

ضع في اعتبارك المتتالية: 5, 15, 45, 135...

1. حدود متتالية: لنختر 5 و 15.
2. القسمة: 15 / 5 = 3
3. التحقق: لنحاول 45 و 15. 45 / 15 = 3.

لذلك، النسبة المشتركة هي 3.

أخطاء شائعة يجب تجنبها

• القسمة بترتيب خاطئ: قسّم دائمًا الحد على الحد الذي يسبقه، وليس العكس.
• افتراض حسابي: لا تخلط بين المتتاليات الهندسية والمتتاليات الحسابية. تتضمن المتتاليات الحسابية الجمع/الطرح، بينما تتضمن المتتاليات الهندسية الضرب/القسمة.
• نسبة غير ثابتة: إذا كانت النسبة بين الحدود المتتالية غير ثابتة، فإن المتتالية ليست متتالية هندسية، ولا توجد نسبة مشتركة.
• حدود صفرية: من الناحية المثالية، لا تحتوي المتتاليات الهندسية على حدود صفرية (إلا ربما كأول حد في ظل تعريفات موسعة معينة).
• الخلط مع الفرق المشترك: في المتتاليات الحسابية، تتم إضافة فرق مشترك، وليس ضرب نسبة.

حساب النسبة المشتركة في العالم الحقيقي

تطبيقات في مجال المال

في حين أن حساب العوائد بالدولار يتعلق بشكل أقل بالنسب المشتركة، فإن المفهوم مفيد لفهم العوائد التي تكون نسبًا مئوية على مدى فترة منتظمة. لنفترض أن الاستثمار ينمو باستمرار بنسبة 10٪ كل عام. النسبة المشتركة التي تمثل هذا النمو هي 1.10 (تمثل 110٪ من قيمة العام السابق). إذا كان الاستثمار الأولي هو 1000، فبعد عام واحد، سيكون المبلغ 10001.10=1100. بعد عامين، سيكون المبلغ 11001.10 = 1210. وهذا يشكل متتالية هندسية 1000، 1100، 1210.... بنسبة مشتركة 1.10.

الاستخدام في البحث العلمي

• التحلل الإشعاعي: يتبع تحلل النظائر المشعة تقدمًا هندسيًا. تمثل النسبة المشتركة جزء المادة المتبقية بعد كل فترة نصف عمر. على سبيل المثال، إذا ترك نصف العمر نصفًا، فإن النسبة المشتركة هي 0.5.
• نمو البكتيريا: في ظل الظروف المثالية، يمكن أن ينمو مجتمع البكتيريا هندسيًا. إذا تضاعف عدد السكان كل ساعة، فإن النسبة المشتركة هي 2.
• علم الوراثة: يمكن أحيانًا نمذجة انتقال بعض السمات باستخدام الاحتمالات الهندسية.

الأسئلة الشائعة حول حساب النسبة المشتركة

ما هي النسبة المشتركة في متتالية هندسية؟

النسبة المشتركة هي القيمة الثابتة التي تضرب بها أي حد في متتالية هندسية للحصول على الحد التالي. إنها تمثل العامل الضربي الذي يربط العناصر المتتالية في المتتالية.

كيف تجد النسبة المشتركة؟

لإيجاد النسبة المشتركة، اقسم أي حد في المتتالية الهندسية على الحد الذي يسبقه مباشرةً. يمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي:

$$r = aₙ / a_{n-1}$$

مثال:

المتتالية التالية هي متتالية هندسية: 2, 6, 18, 54... ما هي النسبة المشتركة (r) لهذه المتتالية؟

الإجابة:

لإيجاد النسبة المشتركة (r) لمتتالية هندسية، فإنك تقسم أي حد على الحد الذي يسبقه مباشرةً. في هذه المتتالية:

• يمكنك قسمة الحد الثاني (6) على الحد الأول (2): 6 / 2 = 3
• أو، يمكنك قسمة الحد الثالث (18) على الحد الثاني (6): 18 / 6 = 3
• أو، يمكنك قسمة الحد الرابع (54) على الحد الثالث (18): 54 / 18 = 3

نظرًا لأن كل قسمة ينتج عنها نفس القيمة، فإن النسبة المشتركة (r) لهذه المتتالية الهندسية هي 3.

هل يمكن أن تكون النسبة المشتركة سالبة؟

نعم، يمكن أن تكون النسبة المشتركة سالبة. تؤدي النسبة المشتركة السالبة إلى متتالية هندسية متناوبة، حيث تتناوب علامات الحدود بين الموجب والسالب.

مثال: المتتالية 1, -2, 4, -8, 16... لها نسبة مشتركة -2.

ما الفرق بين النسبة المشتركة والفرق المشترك؟

• النسبة المشتركة: تنطبق على المتتاليات الهندسية. يتم ضرب كل حد في النسبة المشتركة للحصول على الحد التالي.
• الفرق المشترك: ينطبق على المتتاليات الحسابية. تتم إضافة فرق ثابت إلى كل حد للحصول على الحد التالي.

مثال:

• متتالية هندسية (النسبة المشتركة): 2, 4, 8, 16... (النسبة المشتركة = 2)
• متتالية حسابية (الفرق المشترك): 2, 4, 6, 8... (الفرق المشترك = 2)

كيف تستخدم النسبة المشتركة في النمو الأسي؟

في النمو الأسي، تكون النسبة المشتركة أكبر من 1. وهي تمثل العامل الذي تزداد به الكمية على مدى كل فترة زمنية. كلما زادت النسبة المشتركة، زاد النمو الأسي. إذا تم التعبير عن النسبة المشتركة على أنها (1 + معدل النمو)، فإن 'معدل النمو' يمثل الزيادة بالنسبة المئوية لكل فترة. على سبيل المثال، النسبة المشتركة 1.05 تعني معدل نمو 5٪ لكل فترة.'