Mathos AI | حاسبة التوزيع ذي الحدين - التقريب الطبيعي

المفهوم الأساسي للتقريب الطبيعي لحساب التوزيع ذي الحدين

ما هو التقريب الطبيعي لحساب التوزيع ذي الحدين؟

التقريب الطبيعي للتوزيع ذي الحدين هو طريقة إحصائية تستخدم لتقدير الاحتمالات المرتبطة بتوزيع ذي الحدين باستخدام التوزيع الطبيعي. هذا النهج مفيد بشكل خاص عند التعامل مع عدد كبير من المحاولات، حيث يبدأ التوزيع ذي الحدين في التشبه بالمنحنى الجرس للتوزيع الطبيعي. باستخدام هذا التقريب، يمكننا الاستفادة من خصائص وأدوات التوزيع الطبيعي لتبسيط حساب احتمالات ذي الحدين.

لماذا نستخدم التقريب الطبيعي؟

الأسباب الرئيسية لاستخدام التقريب الطبيعي هي التبسيط والراحة. يمكن أن يكون حساب احتمالات ذي الحدين بشكل مباشر مكلفًا حسابيًا، خاصة عندما يكون عدد المحاولات كبيرًا. التقريب الطبيعي يبسط هذه الحسابات بشكل كبير. بالإضافة إلى ذلك، تتوفر جداول وآلات حاسبة للتوزيع الطبيعي على نطاق واسع، مما يجعل من السهل العثور على الاحتمالات مقارنة بحساب معاملات ذي الحدين.

كيفية إجراء التقريب الطبيعي لحساب التوزيع ذي الحدين

دليل خطوة بخطوة

1. تحديد المعلمات: حدد عدد المحاولات $n$ واحتمالية النجاح في محاولة واحدة $p$.

2. حساب المتوسط والانحراف المعياري:

• المتوسط ($\mu$) يُعطى بواسطة:

$$\mu = n \cdot p$$

• يتم حساب الانحراف المعياري ($\sigma$) على النحو التالي:

$$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$$

3. تطبيق تصحيح الاستمرارية: نظرًا لأن التوزيع ذي الحدين متقطع والتوزيع الطبيعي مستمر، اضبط هذا الاختلاف:

• لتقريب $P(X = k)$، استخدم $P(k - 0.5 < X < k + 0.5)$.
• لتقريب $P(X \leq k)$، استخدم $P(X < k + 0.5)$.
• لتقريب $P(X \geq k)$، استخدم $P(X > k - 0.5)$.
• لتقريب $P(a \leq X \leq b)$، استخدم $P(a - 0.5 < X < b + 0.5)$.

4. حساب قيم Z: حوّل القيم محل الاهتمام إلى قيم Z باستخدام:

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

حيث $X$ هي القيمة محل الاهتمام.

5. إيجاد الاحتمالات: استخدم جدول التوزيع الطبيعي القياسي أو آلة حاسبة لإيجاد الاحتمالات المرتبطة بقيم Z المحسوبة.

الاعتبارات والافتراضات الرئيسية

• يكون التقريب الطبيعي أكثر دقة عندما يكون $n$ كبيرًا و$p$ قريبًا من 0.5.
• شروط استخدام التقريب الطبيعي هي $n \cdot p \geq 5$ و$n \cdot (1 - p) \geq 5$.
• تصحيح الاستمرارية ضروري لتحسين دقة التقريب.

التقريب الطبيعي لحساب التوزيع ذي الحدين في العالم الحقيقي

التطبيقات العملية

يستخدم التقريب الطبيعي على نطاق واسع في مجالات مختلفة مثل مراقبة الجودة، واستطلاعات الرأي الانتخابية، والاختبارات الطبية. على سبيل المثال، في مراقبة الجودة، قد تستخدم الشركة ذلك لتقدير احتمالية إنتاج عدد معين من العناصر المعيبة في دفعة كبيرة.

دراسات الحالة

1. مراقبة الجودة: تنتج شركة 1000 مصباح كهربائي بمعدل عيب 5 بالمئة. للعثور على احتمالية وجود أكثر من 60 مصباحًا معيبًا، يمكن تطبيق التقريب الطبيعي نظرًا لأن $n \cdot p = 50$ و$n \cdot (1 - p) = 950$.

2. استطلاعات الرأي الانتخابية: يجري مستطلع آراء مسحًا على 500 شخص لتحديد الدعم لمرشح بدعم فعلي بنسبة 52 بالمئة. يساعد التقريب الطبيعي في تقدير احتمالية إظهار الاستطلاع دعمًا أقل من 50 بالمئة.

3. الاختبارات الطبية: في تجربة دواء مع 200 مريض ومعدل فعالية 70 بالمئة، يمكن للتقريب الطبيعي تقدير احتمالية أن يكون الدواء فعالًا لما لا يقل عن 130 مريضًا.

الأسئلة الشائعة حول التقريب الطبيعي لحساب التوزيع ذي الحدين

ما هي شروط استخدام التقريب الطبيعي لتوزيع ذي الحدين؟

الشروط هي $n \cdot p \geq 5$ و$n \cdot (1 - p) \geq 5$. تضمن هذه الشروط أن يكون التوزيع ذي الحدين متماثلًا بدرجة كافية للتقريب الطبيعي.

كيف تحدد ما إذا كان التقريب الطبيعي مناسبًا؟

تحقق مما إذا كان $n \cdot p \geq 5$ و$n \cdot (1 - p) \geq 5$. إذا تم استيفاء هذه الشروط، فإن التقريب مناسب.

ما هي قيود استخدام التقريب الطبيعي؟

قد لا يكون التقريب دقيقًا بالنسبة لقيم $n$ الصغيرة أو عندما تكون $p$ قريبة جدًا من 0 أو 1. كما أنه أقل دقة بدون تطبيق تصحيح الاستمرارية.

كيف يؤثر عامل تصحيح الاستمرارية في التقريب الطبيعي؟

يقوم تصحيح الاستمرارية بتعديل الطبيعة المتقطعة للتوزيع ذي الحدين عند استخدام التوزيع الطبيعي المستمر. إنه يحسن دقة التقريب.

هل يمكن استخدام التقريب الطبيعي لأحجام العينات الصغيرة؟

لا يوصى عمومًا بالتقريب الطبيعي لأحجام العينات الصغيرة لأنه قد لا يوفر نتائج دقيقة. من الأفضل استخدامه عندما تكون $n$ كبيرة و$p$ ليست قريبة جدًا من 0 أو 1.