Mathos AI | آلة حاسبة للمتسلسلات الهندسية

المفهوم الأساسي لحساب مجموع المتسلسلة الهندسية

ما هو حساب مجموع المتسلسلة الهندسية؟

حساب 'مجموع المتسلسلة الهندسية' هو مفهوم أساسي في الرياضيات يسمح لنا بتحديد القيمة الإجمالية لـ المتسلسلة الهندسية بكفاءة. المتسلسلة الهندسية هي مجموع الحدود في المتتابعة الهندسية، حيث يتم اشتقاق كل حد بضرب الحد السابق بنسبة ثابتة.

• Sequence: قائمة مرتبة من الأرقام.
• Geometric Sequence: متتابعة حيث يتم إيجاد كل حد بضرب الحد السابق بقيمة ثابتة تسمى النسبة المشتركة (r). على سبيل المثال، 2، 4، 8، 16، 32... هي متتابعة هندسية بنسبة مشتركة 2. كل حد هو ضعف الحد السابق.
• Geometric Series: مجموع الحدود في المتتابعة الهندسية. لذلك، بالنسبة للمتتابعة أعلاه، ستكون المتسلسلة الهندسية 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...

يمكن أن يكون حساب مجموع المتسلسلة الهندسية يدويًا، خاصةً عندما يكون لها العديد من الحدود، أمرًا شاقًا ويستغرق وقتًا طويلاً. توفر صيغة المجموع طريقة مباشرة وفعالة لتحديد القيمة الإجمالية، بغض النظر عن عدد الحدود.

فهم الصيغة

هناك صيغتان رئيسيتان، واحدة للمتسلسلات الهندسية المحدودة وواحدة للمتسلسلات الهندسية اللانهائية (في ظل ظروف معينة).

أ) المتسلسلة الهندسية المحدودة

تحتوي المتسلسلة الهندسية المحدودة على عدد محدد من الحدود. صيغة مجموعها (المشار إليها بـ (S_n)) هي:

$$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$$

حيث:

• (S_n) هو مجموع أول n من حدود المتسلسلة.
• (a) هو الحد الأول من المتسلسلة.
• (r) هي النسبة المشتركة.
• (n) هو عدد الحدود في المتسلسلة.

مثال:

لنفترض أننا نريد إيجاد مجموع أول 4 حدود من المتسلسلة: 3 + 6 + 12 + 24.

• a = 3
• r = 2
• n = 4

$$S_4 = \frac{3(1 - 2^4)}{1 - 2} = \frac{3(1 - 16)}{-1} = \frac{3(-15)}{-1} = 45$$

إذًا، 3 + 6 + 12 + 24 = 45.

ب) المتسلسلة الهندسية اللانهائية

تستمر المتسلسلة الهندسية اللانهائية إلى أجل غير مسمى. ومع ذلك، يمكن أن يتقارب مجموعها إلى قيمة محدودة فقط إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة أقل من 1 ((|r| < 1)). في هذه الحالة، تكون صيغة المجموع (المشار إليها بـ (S_\infty)) هي:

$$S_\infty = \frac{a}{1 - r}$$

حيث:

• (S_\infty) هو مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية.
• (a) هو الحد الأول من المتسلسلة.
• (r) هي النسبة المشتركة (و |r| < 1).

مثال:

لنجد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية: 4 + 2 + 1 + 1/2 + ...

• a = 4
• r = 1/2

$$S_\infty = \frac{4}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$$

إذًا، 4 + 2 + 1 + 1/2 + ... = 8

كيفية إجراء حساب مجموع المتسلسلة الهندسية

دليل خطوة بخطوة

إليك دليل خطوة بخطوة لحساب مجموع المتسلسلة الهندسية:

1. تحديد أن المتسلسلة هندسية:

• تحقق مما إذا كانت هناك نسبة ثابتة بين الحدود المتتالية. قسّم أي حد على الحد الذي يسبقه. إذا كانت النتيجة هي نفسها لجميع أزواج الحدود المتتالية، فهي متسلسلة هندسية.

2. تحديد 'a' و'r' و'n' (أو تقييم ما إذا كانت لانهائية):

• 'a' (الحد الأول): حدد الحد الأول من المتسلسلة.
• 'r' (النسبة المشتركة): احسب النسبة المشتركة بقسمة أي حد على الحد الذي يسبقه.
• 'n' (عدد الحدود): إذا كانت متسلسلة محدودة، فحدد عدد الحدود التي تريد جمعها.
• Infinity: إذا كانت المتسلسلة لانهائية، فتحقق مما إذا كانت (|r| < 1). إذا لم يكن الأمر كذلك، فإن المتسلسلة تتباعد وليس لها مجموع محدود.

3. اختيار الصيغة الصحيحة:

• Finite Series: استخدم الصيغة (S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r})
• Infinite Series (if (|r| < 1)): استخدم الصيغة (S_\infty = \frac{a}{1 - r})

4. استبدال القيم في الصيغة:

• استبدل بعناية قيم 'a' و'r' و'n' في الصيغة المختارة.

5. حساب المجموع:

• قم بإجراء العمليات الحسابية لإيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية.

مثال (متسلسلة محدودة):

أوجد مجموع أول 5 حدود من المتسلسلة: 1 + 3 + 9 + 27 + 81

1. Geometric? نعم (3/1 = 9/3 = 27/9 = 3)
2. Identify: a = 1, r = 3, n = 5
3. Formula: (S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r})
4. Substitute: (S_5 = \frac{1(1 - 3^5)}{1 - 3})
5. Calculate:

$$S_5 = \frac{1(1 - 243)}{-2} = \frac{-242}{-2} = 121$$

مثال (متسلسلة لانهائية):

أوجد مجموع المتسلسلة اللانهائية: 9 + 3 + 1 + 1/3 + ...

1. Geometric? نعم (3/9 = 1/3 = (1/3)/1 = 1/3)
2. Identify: a = 9, r = 1/3
3. Check (|r| < 1): (|1/3| < 1) (صحيح)
4. Formula: (S_\infty = \frac{a}{1 - r})
5. Substitute: (S_\infty = \frac{9}{1 - \frac{1}{3}})
6. Calculate:

$$S_\infty = \frac{9}{\frac{2}{3}} = \frac{9}{1} * \frac{3}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$$

الأخطاء الشائعة التي يجب تجنبها

• Incorrectly Identifying 'a' and 'r': تأكد من تحديد الحد الأول والنسبة المشتركة بشكل صحيح. قسّم أي حد على الحد السابق لإيجاد 'r'.
• Forgetting the Condition (|r| < 1) for Infinite Series: تحقق دائمًا مما إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة أقل من 1 قبل محاولة حساب مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية. إذا لم يكن الأمر كذلك، فإن المتسلسلة تتباعد.
• Using the Wrong Formula: تذكر استخدام الصيغة الصحيحة للمتسلسلات المحدودة أو اللانهائية.
• Arithmetic Errors: تحقق جيدًا من حساباتك لتجنب الأخطاء الحسابية البسيطة.
• Misinterpreting the problem: اقرأ بعناية نص المسألة لفهم المطلوب. هل يُطلب منك مجموع أول n من الحدود، أم مجموع المتسلسلة اللانهائية بأكملها؟
• Incorrectly Applying Order of Operations: تأكد من تقييم الأس r^n قبل إجراء العمليات الأخرى

حساب مجموع المتسلسلة الهندسية في العالم الحقيقي

التطبيقات في مجال التمويل

تستخدم المتسلسلات الهندسية لنمذجة انخفاض قيمة الأصول. على سبيل المثال، إذا كانت السيارة تفقد نسبة ثابتة من قيمتها كل عام، فيمكن نمذجة قيمة السيارة بمرور الوقت على أنها متسلسلة هندسية. يتضمن حساب إجمالي انخفاض القيمة على مدى عدة سنوات جمع المتسلسلة الهندسية.

التطبيقات في العلوم والهندسة

في الفيزياء، يمكن استخدام المتسلسلات الهندسية لتحليل حركة الكرة النطاطة. مع كل ارتداد، تفقد الكرة نسبة معينة من ارتفاعها. يمكن حساب إجمالي المسافة التي قطعتها الكرة قبل أن تستقر باستخدام مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية. تطبيق آخر هو في الهندسة الكهربائية، وتحديداً في تحليل الشبكات السلمية للمقاومات.

الأسئلة الشائعة حول حساب مجموع المتسلسلة الهندسية

ما الفرق بين المتسلسلات الحسابية والهندسية؟

• Arithmetic Series: متسلسلة يكون فيها الفرق بين الحدود المتتالية ثابتًا (على سبيل المثال، 2 + 4 + 6 + 8 + ...). يتم الحصول على كل حد عن طريق إضافة قيمة ثابتة (الفرق المشترك) إلى الحد السابق.
• Geometric Series: متسلسلة تكون فيها النسبة بين الحدود المتتالية ثابتة (على سبيل المثال، 2 + 4 + 8 + 16 + ...). يتم الحصول على كل حد عن طريق ضرب الحد السابق بقيمة ثابتة (النسبة المشتركة).

كيف تحدد المتسلسلة الهندسية؟

لتحديد المتسلسلة الهندسية، قسّم أي حد على الحد الذي يسبقه. إذا كانت النتيجة (النسبة المشتركة) هي نفسها لجميع أزواج الحدود المتتالية، فإن المتسلسلة تكون هندسية.

على سبيل المثال:

• Series: 5 + 10 + 20 + 40 + ...
• 10/5 = 2
• 20/10 = 2
• 40/20 = 2

نظرًا لأن النسبة ثابتة وهي 2، فهذه متسلسلة هندسية.

هل يمكن أن يكون للمتسلسلة الهندسية نسبة مشتركة سالبة؟

نعم، يمكن أن يكون للمتسلسلة الهندسية نسبة مشتركة سالبة. ينتج عن هذا متسلسلة تتناوب فيها الحدود في الإشارة.

Example: 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - ...

هنا، النسبة المشتركة هي -2.

ماذا يحدث إذا كانت النسبة المشتركة أكبر من 1؟

إذا كانت النسبة المشتركة ((r)) أكبر من 1 في المتسلسلة الهندسية، فستزداد الحدود في الحجم.

• Finite Series: سيكون المجموع رقمًا موجبًا أكبر.
• Infinite Series: ستتباعد المتسلسلة إلى اللانهاية؛ ليس لها مجموع محدود. تستمر الحدود في الازدياد، لذلك ينمو المجموع بلا حدود.

كيف يتم حساب مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية؟

يتم حساب مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية باستخدام الصيغة:

$$S_\infty = \frac{a}{1 - r}$$

حيث:

• (S_\infty) هو مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية.
• (a) هو الحد الأول من المتسلسلة.
• (r) هي النسبة المشتركة.

Important Condition: هذه الصيغة صالحة فقط إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة أقل من 1 ((|r| < 1)). إذا كانت (|r| \ge 1)، فإن المتسلسلة تتباعد وليس لها مجموع محدود.