Mathos AI | حاسبة توزيع ذات الحدين - احسب الاحتمالات على الفور

المفهوم الأساسي لحساب توزيع ذات الحدين

ما هو حساب توزيع ذات الحدين؟

التوزيع ذو الحدين هو مفهوم أساسي في الاحتمالات والإحصاء. يتم استخدامه لنمذجة احتمالية عدد معين من النجاحات في سلسلة من التجارب المستقلة، حيث يكون لكل تجربة نتيجتان محتملتان فقط: النجاح أو الفشل. تخيل أنك تقلب عملة معدنية عدة مرات. كل قلبة هي تجربة، والنتيجة إما صورة (نجاح) أو كتابة (فشل). يساعدنا التوزيع ذو الحدين في حساب احتمالية الحصول على عدد معين من الصور في هذه القلبات. بمعنى آخر، يساعد في الإجابة على أسئلة مثل: إذا كررت تجربة عدة مرات، فما هي فرصة حدوث نتيجة معينة عددًا معينًا من المرات؟.

المصطلحات والتعريفات الأساسية

لفهم حسابات التوزيع ذي الحدين بشكل صحيح، تحتاج إلى معرفة المصطلحات الأساسية التالية:

• n (عدد التجارب): العدد الإجمالي للتجارب المستقلة في التجربة. على سبيل المثال، إذا قمت برمي نرد 20 مرة، فإن n = 20.

• k (عدد النجاحات): عدد النتائج الناجحة التي تهتم بها. إذا كنت تريد إيجاد احتمالية دحرجة الرقم '4' بالضبط 3 مرات في 20 رمية، فإن k = 3.

• p (احتمالية النجاح في تجربة واحدة): احتمالية الحصول على نجاح في تجربة واحدة. إذا كنت ترمي نردًا عادلاً بستة أوجه، فإن احتمالية دحرجة الرقم '4' هي p = 1/6، أو حوالي 0.1667.

• q (احتمالية الفشل في تجربة واحدة): احتمالية الفشل في تجربة واحدة. هذا ببساطة مكمل لـ p، ويتم حسابه كـ q = 1 - p. مع مثال النرد، q = 1 - (1/6) = 5/6، أو حوالي 0.8333.

• تجارب مستقلة: يجب أن تكون كل تجربة مستقلة عن الأخرى. وهذا يعني أن نتيجة إحدى التجارب لا تؤثر على نتيجة أي تجربة أخرى. يعتبر قلب العملة المعدنية مثالاً جيدًا على التجارب المستقلة. سلسلة من رميات النرد هي مثال جيد على التجارب المستقلة.

كيفية إجراء حساب توزيع ذات الحدين

دليل خطوة بخطوة

يكمن جوهر حساب توزيع ذات الحدين في صيغة الاحتمالية ذات الحدين:

$$P(X = k) = (nCk) * p^k * q^(n-k)$$

حيث:

• P(X = k): احتمالية الحصول على k نجاح بالضبط في n تجربة. هذا ما نريد حسابه.

• (nCk): المعامل ذو الحدين، ويُكتب أيضًا n اختر k. يمثل عدد الطرق لاختيار k نجاح من n تجربة دون النظر إلى الترتيب. الصيغة لذلك هي:

$$nCk = \frac{n!}{k! * (n-k)!}$$

حيث يشير ! إلى العاملي (على سبيل المثال، 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120).

• p^k: احتمالية الحصول على k نجاح على التوالي. إنها p مضروبة في نفسها k مرة.

• q^(n-k): احتمالية الحصول على (n-k) فشل على التوالي. إنها q مضروبة في نفسها (n-k) مرة.

دعنا نحلل عملية الحساب بمثال:

لنفترض أن لديك كيسًا من الكرات الزجاجية. 70٪ من الكرات الزجاجية زرقاء، و 30٪ حمراء. أنت تختار عشوائيًا 5 كرات زجاجية من الكيس، مع الإرجاع (بمعنى أنك تعيد الكرة الزجاجية بعد كل اختيار). ما هي احتمالية اختيار 3 كرات زجاجية زرقاء بالضبط؟

1. حدد n و k و p و q:

• n = 5 (عدد التجارب - اختيار 5 كرات زجاجية)
• k = 3 (عدد النجاحات - اختيار 3 كرات زجاجية زرقاء)
• p = 0.7 (احتمالية النجاح - اختيار كرة زجاجية زرقاء)
• q = 1 - p = 0.3 (احتمالية الفشل - اختيار كرة زجاجية حمراء)

2. احسب المعامل ذي الحدين (nCk):

$$5C3 = \frac{5!}{3! * (5-3)!} = \frac{5!}{3! * 2!} = \frac{5 * 4 * 3 * 2 * 1}{(3 * 2 * 1) * (2 * 1)} = \frac{120}{6 * 2} = 10$$

3. احسب p^k:

$$p^k = (0.7)^3 = 0.7 * 0.7 * 0.7 = 0.343$$

4. احسب q^(n-k):

$$q^(n-k) = (0.3)^(5-3) = (0.3)^2 = 0.3 * 0.3 = 0.09$$

5. طبق صيغة الاحتمالية ذات الحدين:

$$P(X = 3) = (5C3) * p^3 * q^2 = 10 * 0.343 * 0.09 = 0.3087$$

لذلك، فإن احتمالية اختيار 3 كرات زجاجية زرقاء بالضبط في 5 اختيارات هي 0.3087، أو 30.87٪.

أنواع مختلفة من أسئلة احتمالية ذات الحدين:

في بعض الأحيان، ستحتاج إلى حساب أكثر من مجرد احتمالية بالضبط k نجاح. فيما يلي بعض الاختلافات الشائعة:

• احتمالية الحصول على k نجاح على الأقل: هذا يعني k أو أكثر من النجاحات. لحساب ذلك، اجمع الاحتمالات من k إلى n:

$$P(X \geq k) = P(X = k) + P(X = k+1) + ... + P(X = n)$$

على سبيل المثال، ما هي احتمالية الحصول على 3 كرات زجاجية زرقاء على الأقل؟ سنحتاج إلى حساب P(X=3) + P(X=4) + P(X=5).

• احتمالية الحصول على k نجاح على الأكثر: هذا يعني k أو أقل من النجاحات. اجمع الاحتمالات من 0 إلى k:

$$P(X \leq k) = P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = k)$$

على سبيل المثال، ما هي احتمالية الحصول على 2 كرات زجاجية زرقاء على الأكثر؟ سنحسب P(X=0) + P(X=1) + P(X=2).

• احتمالية الحصول على أكثر من k نجاح: هذا يستبعد k نفسها.

$$P(X > k) = P(X = k+1) + ... + P(X = n)$$

• احتمالية الحصول على أقل من k نجاح: هذا يستبعد k نفسها أيضًا.

$$P(X < k) = P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = k-1)$$

مثال على الأقل:

باستخدام مثال الكرة الزجاجية (n=5، p=0.7)، ما هي احتمالية الحصول على 4 كرات زجاجية زرقاء على الأقل؟

نحتاج إلى حساب P(X = 4) و P(X = 5) وجمعهما معًا.

• P(X = 4):

• 5C4 = 5! / (4! * 1!) = 5

• p^4 = (0.7)^4 = 0.2401

• q^(5-4) = (0.3)^1 = 0.3

• P(X = 4) = 5 * 0.2401 * 0.3 = 0.36015

• P(X = 5):

• 5C5 = 5! / (5! * 0!) = 1 (ملاحظة: 0! = 1)

• p^5 = (0.7)^5 = 0.16807

• q^(5-5) = (0.3)^0 = 1 (أي شيء مرفوع للأس 0 يساوي 1)

• P(X = 5) = 1 * 0.16807 * 1 = 0.16807

• P(X >= 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.36015 + 0.16807 = 0.52822

لذلك، فإن احتمالية اختيار 4 كرات زجاجية زرقاء على الأقل هي 0.52822 تقريبًا، أو 52.82٪.

الأخطاء الشائعة التي يجب تجنبها

• افتراض الاستقلالية: الافتراض الأكثر أهمية هو أن التجارب مستقلة. إذا كانت نتيجة إحدى التجارب تؤثر على التجربة التالية، فلا يمكن استخدام التوزيع ذي الحدين.
• تحديد النجاح والفشل بشكل غير صحيح: حدد بوضوح ما يشكل نجاحًا وفشلًا. سيؤدي عدم التطابق هنا إلى إبطال الحساب بأكمله.
• أخطاء الحساب في المعامل ذي الحدين: قد يكون المعامل ذو الحدين (nCk) صعبًا في الحساب يدويًا. تحقق جيدًا من حساباتك العاملية.
• اختيار نوع الاحتمالية الخاطئ: تأكد من أنك تحسب النوع الصحيح من الاحتمالية (بالضبط k، على الأقل k، على الأكثر k، إلخ) بناءً على صياغة السؤال.
• أخطاء التقريب: تجنب التقريب المبكر أثناء الحسابات الوسيطة. احتفظ بأكبر عدد ممكن من المنازل العشرية حتى الإجابة النهائية. يمكن أن يؤدي التقريب المبكر إلى عدم دقة كبيرة. على سبيل المثال، إذا كانت p = 1/3، فلا تستخدم p = 0.33، وبدلاً من ذلك احتفظ بـ p = 0.33333... لأطول فترة ممكنة في حساباتك.

حساب توزيع ذات الحدين في العالم الحقيقي

التطبيقات في مجال الأعمال

للتوزيع ذي الحدين العديد من التطبيقات العملية في مجال الأعمال، بما في ذلك:

• مراقبة الجودة: ينتج مصنع مصابيح كهربائية. إنهم يريدون معرفة احتمالية احتواء دفعة من 20 مصباحًا على ما لا يزيد عن 2 مصباح معيب، علمًا بأن احتمالية أن يكون المصباح الواحد معيبًا هي 0.05. هنا، النجاح هو مصباح معيب، ويمكننا استخدام التوزيع ذي الحدين لتقييم جودة الدفعة.
• التسويق: يطلق فريق تسويق حملة إعلانية جديدة. بناءً على الحملات السابقة، فإنهم يقدرون أن 10٪ من الأشخاص الذين يشاهدون الإعلان سينقرون عليه. إذا شاهد الإعلان 1000 شخص، فما هي احتمالية نقر 120 شخصًا على الأقل؟ يساعد التوزيع ذو الحدين في تقدير فعالية الحملة.
• المبيعات: يجري مندوب مبيعات مكالمة مبيعات. تاريخيًا، يبرمون صفقة مع 20٪ من مكالماتهم. إذا أجروا 15 مكالمة هذا الأسبوع، فما هي احتمالية إبرامهم 4 صفقات بالضبط؟ يساعد هذا في التنبؤ بالمبيعات.

التطبيقات في العلوم والبحث

في العلوم والبحث، يعتبر التوزيع ذو الحدين ذا قيمة مماثلة:

• علم الوراثة: في علم الوراثة، ضع في اعتبارك التزاوج بين نباتين بازلاء حيث من المتوقع أن يكون لدى 25٪ من النسل أزهار بيضاء. إذا فحصت 10 من النسل، فما هي احتمالية أن يكون لدى 3 منهم بالضبط أزهار بيضاء؟ هنا، النجاح هو نبات لديه أزهار بيضاء.
• التجارب السريرية: يتم اختبار دواء جديد على 50 مريضًا. إذا كان الدواء فعالاً باحتمالية 0.6، فما هي احتمالية أن يكون فعالاً لـ 35 مريضًا على الأقل في التجربة؟ سيكون النجاح هو أن يكون الدواء فعالاً.
• علم البيئة: يدرس باحث نوعًا نادرًا من الطيور. إنهم يعلمون أن 30٪ من الأعشاش في منطقة معينة تحتوي على بيضة واحدة على الأقل. إذا قاموا بمسح 25 عشًا، فما هي احتمالية احتواء أكثر من 5 أعشاش على بيضة واحدة على الأقل؟

الأسئلة الشائعة حول حساب توزيع ذات الحدين

ما هي صيغة حساب توزيع ذات الحدين؟

صيغة حساب توزيع ذات الحدين هي:

$$P(X = k) = (nCk) * p^k * q^(n-k)$$

حيث:

• P(X = k) هي احتمالية الحصول على k نجاح بالضبط في n تجربة.
• nCk هو المعامل ذو الحدين، ويتم حسابه كـ n! / (k! * (n-k)!).
• p هي احتمالية النجاح في تجربة واحدة.
• q هي احتمالية الفشل في تجربة واحدة (q = 1 - p).

ما هو الفرق بين التوزيع ذي الحدين والتوزيع الطبيعي؟

تكمن الاختلافات الرئيسية في نوع البيانات التي يصفونها والافتراضات الأساسية التي يقومون عليها:

• التوزيع ذو الحدين: يتعامل مع البيانات المنفصلة، وتحديداً عدد النجاحات في عدد ثابت من التجارب المستقلة. لكل تجربة نتيجتان فقط (النجاح أو الفشل).
• التوزيع الطبيعي: يتعامل مع البيانات المستمرة، مثل الطول أو الوزن أو درجة الحرارة. يتميز بمنحنى على شكل جرس ويتم تحديده بمتوسطه وانحرافه المعياري.

يقترب التوزيع ذو الحدين من التوزيع الطبيعي مع زيادة عدد التجارب (n) وعندما تكون p قريبة من 0.5. هناك قاعدة عامة تتمثل في أن التوزيع الطبيعي يمكن أن يقرب التوزيع ذي الحدين إذا كان np >= 5 و n(1-p) >= 5.

هل يمكن استخدام التوزيع ذي الحدين للبيانات المستمرة؟

لا، لا يمكن استخدام التوزيع ذي الحدين للبيانات المستمرة. إنه مصمم خصيصًا للبيانات المنفصلة التي تمثل عدد النجاحات في سلسلة من التجارب. تتطلب البيانات المستمرة توزيعات أخرى، مثل التوزيع الطبيعي أو التوزيع الأسي.

ما هي بعض الاستخدامات الشائعة للتوزيع ذي الحدين في الإحصاء؟

يستخدم التوزيع ذو الحدين على نطاق واسع في الإحصاء من أجل:

• اختبار الفرضيات: اختبار الفرضيات حول نسبة النجاحات في مجتمع ما.
• فترات الثقة: بناء فترات ثقة لنسبة النجاحات.
• مراقبة الجودة: مراقبة نسبة العناصر المعيبة في عملية الإنتاج.
• تقييم المخاطر: تقدير احتمالية وقوع أحداث معينة.
• تحليل الاستبيانات: تحليل نتائج الاستبيانات ذات النتائج الثنائية (على سبيل المثال، أسئلة بنعم/لا).

كيف يمكن أن يساعد Mathos AI في حسابات توزيع ذات الحدين؟

يمكن أن يبسط Mathos AI حسابات توزيع ذات الحدين بشكل كبير من خلال:

• حساب احتمالات ذات الحدين: توفير واجهة سهلة الاستخدام لحساب P(X = k) و P(X >= k) و P(X <= k) و P(X > k) و P(X < k) بالنظر إلى قيم n و k و p.
• حساب المعامل ذي الحدين: حساب المعامل ذي الحدين (nCk) تلقائيًا، مما يزيل أخطاء الحساب اليدوي.
• التعامل مع الحسابات المعقدة: إجراء حسابات تتضمن قيمًا كبيرة لـ n و k، والتي قد تكون مملة للقيام بها يدويًا.
• تقديم نتائج واضحة: تقديم النتائج بتنسيق واضح ومفهوم.
• تقديم الدعم التعليمي: تقديم شروحات للمفاهيم والصيغ الأساسية.