Mathos AI | حاسبة CDF - حساب وظائف التوزيع التراكمي فوريًا

المفهوم الأساسي لحساب CDF

ما هي حسابات CDF؟

في مجال الرياضيات، وخاصة في الاحتمالات والإحصاء، يركز حساب CDF على تحديد دالة التوزيع التراكمي (CDF) لمتغير عشوائي. لفهم هذا المفهوم بشكل كامل، دعنا نفهم أولاً ما هو المتغير العشوائي.

المتغير العشوائي هو متغير تكون قيمته نتيجة عددية لظاهرة عشوائية. يمكن أن تكون المتغيرات العشوائية منفصلة (تأخذ فقط قيمًا محددة وقابلة للعد) أو مستمرة (تأخذ أي قيمة ضمن نطاق معين). تتضمن الأمثلة:

• عدد الصور عند قلب عملة معدنية 4 مرات.
• وزن تفاحة مختارة عشوائيًا من سلة.
• درجة حرارة الغرفة المقاسة في وقت عشوائي.

يوفر CDF طريقة شاملة لوصف التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي. يعطي CDF للمتغير العشوائي X، والذي يُشار إليه بـ F(x) أو F_X(x)، الاحتمالية التي سيأخذها X قيمة أقل من أو تساوي x.

رياضيًا، يتم التعبير عن ذلك على النحو التالي:

$$F(x) = P(X ≤ x)$$

ببساطة، فإنه يخبرك بكمية الكتلة الاحتمالية التي تم تجميعها حتى نقطة معينة x على خط الأعداد، والتي تمثل القيم المحتملة للمتغير العشوائي.

بالنسبة للمتغيرات العشوائية المنفصلة، يكون CDF دالة متدرجة. نحسبه عن طريق جمع احتمالات جميع قيم المتغير العشوائي التي تكون أقل من أو تساوي x.

الصيغة الخاصة بالمتغيرات العشوائية المنفصلة هي:

$$F(x) = P(X ≤ x) = \sum P(X = x_i)$$

حيث يتم أخذ المجموع على جميع x_i بحيث يكون x_i ≤ x.

بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستمرة، يكون CDF دالة مستمرة وغير متناقصة. نحسبه عن طريق تكامل دالة الكثافة الاحتمالية (PDF) حتى القيمة x.

الصيغة الخاصة بالمتغيرات العشوائية المستمرة هي:

$$F(x) = P(X ≤ x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$$

حيث f(t) هي دالة الكثافة الاحتمالية (PDF) للمتغير العشوائي X.

أهمية CDF في الإحصاء

يعد فهم وحساب CDFs أمرًا بالغ الأهمية لعدة أسباب:

• توصيف كامل للتوزيع: يوفر CDF وصفًا كاملاً للتوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي. معرفة CDF تسمح لنا بتحديد الاحتمالات لأي فاصل زمني للقيم.

• حساب الاحتمالات: يمكننا بسهولة حساب الاحتمالات باستخدام CDF. على سبيل المثال:

• P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)

• P(X > a) = 1 - F(a)

• الاستدلال الإحصائي: يتم استخدام CDF على نطاق واسع في الاستدلال الإحصائي، مثل اختبار الفرضيات وتقدير الفترة الاحتمالية. على سبيل المثال، يمكن أن تساعد مقارنة CDF التجريبي (المحسوب من بيانات العينة) مع CDF النظري في تحديد ما إذا كانت العينة تأتي من توزيع معين.

• المحاكاة: تعتبر CDFs ضرورية لتوليد أرقام عشوائية من توزيع معين. تستخدم طريقة أخذ العينات بالتحويل العكسي معكوس CDF لتوليد عينات عشوائية.

• تحليل البيانات: يمكن أن يساعد فهم CDFs في تحليل البيانات وتفسيرها من خلال تصور التوزيع وتحديد الميزات الرئيسية مثل النسب المئوية والربيعات.

كيفية إجراء حساب CDF

دليل خطوة بخطوة

إليك دليل خطوة بخطوة حول كيفية حساب CDF، جنبًا إلى جنب مع أمثلة توضيحية:

1. تحديد المتغير العشوائي ونوعه:

حدد ما إذا كان المتغير العشوائي منفصلاً أم مستمرًا. هذا يملي الطريقة المستخدمة لحساب CDF.

2. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المنفصلة:

• سرد جميع القيم المحتملة: حدد جميع القيم المحتملة التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي المنفصل.

• تحديد دالة الكتلة الاحتمالية (PMF): ابحث عن الاحتمالية المرتبطة بكل قيمة ممكنة.

• حساب CDF: لكل قيمة x، اجمع احتمالات جميع القيم الأقل من أو تساوي x.

• F(x) = P(X ≤ x) = Σ P(X = x_i) حيث يتم أخذ المجموع على جميع x_i بحيث يكون x_i ≤ x.

مثال:

لنفترض أن لدينا متغيرًا عشوائيًا X يمثل عدد النقاط الظاهرة عند رمي نرد ذي أربعة جوانب. يمكن أن يأخذ X القيم 1 أو 2 أو 3 أو 4. افترض أن النرد عادل.

• P(X = 1) = 1/4
• P(X = 2) = 1/4
• P(X = 3) = 1/4
• P(X = 4) = 1/4

الآن، دعنا نحسب CDF:

• F(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 1) = 1/4
• F(2) = P(X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = 1/4 + 1/4 = 1/2
• F(3) = P(X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4
• F(4) = P(X ≤ 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1

3. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستمرة:

• تحديد دالة الكثافة الاحتمالية (PDF): حدد PDF،‏ f(x)، الذي يصف توزيع المتغير العشوائي المستمر.

• تكامل PDF: احسب CDF عن طريق تكامل PDF من سالب ما لا نهاية حتى القيمة x.

• F(x) = P(X ≤ x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt

مثال:

لنفترض أن X هو متغير عشوائي مستمر ذو توزيع منتظم بين 0 و 5. PDF هو:

• f(x) = 1/5 for 0 ≤ x ≤ 5
• f(x) = 0 otherwise

الآن، دعنا نحسب CDF:

• For x < 0: F(x) = 0
• For 0 ≤ x ≤ 5: F(x) = ∫{0}^{x} (1/5) dt = (1/5) * [t]{0}^{x} = (1/5) * (x - 0) = x/5
• For x > 5: F(x) = 1

إذن، CDF هو:

• F(x) = 0 for x < 0
• F(x) = x/5 for 0 ≤ x ≤ 5
• F(x) = 1 for x > 5

4. تحديد CDF بشكل متعدد التعريف:

اكتب CDF كدالة متعددة التعريف، تغطي جميع القيم المحتملة لـ x. هذا مهم بشكل خاص للمتغيرات العشوائية المستمرة.

5. التحقق من خصائص CDF:

تأكد من أن CDF المحسوب يفي بالخصائص الرئيسية:

• 0 ≤ F(x) ≤ 1 for all x
• F(x) هي دالة غير متناقصة.
• lim_{x→-∞} F(x) = 0
• lim_{x→+∞} F(x) = 1

الأخطاء الشائعة التي يجب تجنبها

• الخلط بين PDF و CDF: تذكر أن PDF يمثل كثافة الاحتمالية عند نقطة ما، بينما يمثل CDF الاحتمالية التراكمية حتى نقطة ما.
• حدود التكامل غير الصحيحة: عند حساب CDF للمتغيرات العشوائية المستمرة، تأكد من أن حدود التكامل صحيحة، خاصة عند التعامل مع PDFs التي يتم تعريفها بشكل متعدد التعريف.
• نسيان التطبيع: لكي تكون الدالة PDF صالحة، يجب أن يساوي التكامل على نطاقها بالكامل 1. تأكد من تطبيع PDF إذا لزم الأمر.
• الجمع غير الصحيح للمتغيرات المنفصلة: عند حساب CDF للمتغيرات العشوائية المنفصلة، تأكد من أنك تجمع الاحتمالات بشكل صحيح لجميع القيم الأقل من أو تساوي x.
• عدم النظر في جميع الفواصل الزمنية: عند تحديد CDF بشكل متعدد التعريف، تأكد من تغطية جميع الفواصل الزمنية المحتملة للمتغير العشوائي.

حساب CDF في العالم الحقيقي

التطبيقات في الهندسة

تستخدم CDFs على نطاق واسع في مختلف التخصصات الهندسية. إليك مثالان:

• هندسة الموثوقية: تستخدم CDFs لنمذجة الوقت حتى فشل أحد المكونات أو النظام. على سبيل المثال، غالبًا ما يستخدم التوزيع الأسي لنمذجة عمر المكونات الإلكترونية. يمكن استخدام CDF للتوزيع الأسي لحساب احتمالية فشل أحد المكونات قبل وقت معين. إذا كان معدل الفشل هو $\lambda$، فإن CDF هو

$$F(t) = 1 - e^{-\lambda t}$$

• الهندسة المدنية: يمكن استخدام CDFs لنمذجة توزيع هطول الأمطار أو سرعات الرياح في موقع معين. يمكن استخدام هذه المعلومات لتصميم هياكل يمكنها تحمل الظواهر الجوية المتطرفة. على سبيل المثال، يمكن استخدام CDF لأقصى سرعة رياح سنوية لتحديد حمل الرياح الذي يجب أن يكون المبنى قادرًا على تحمله.

التطبيقات في التمويل

• إدارة المخاطر: تعد CDFs أدوات أساسية لتحديد كمية المخاطر وإدارتها. على سبيل المثال، القيمة المعرضة للخطر (VaR) هي مقياس للخسارة المحتملة في قيمة الأصل أو المحفظة خلال فترة زمنية معينة ولمستوى ثقة معين. يمكن حساب VaR باستخدام CDF لعائدات الأصل.
• تسعير الخيارات: يستخدم نموذج Black-Scholes لتسعير الخيارات CDF للتوزيع الطبيعي القياسي لحساب احتمالية ممارسة الخيار. صيغة سعر خيار الشراء هي:

$$C = S N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)$$

حيث $N(x)$ هو CDF للتوزيع الطبيعي القياسي.

الأسئلة الشائعة حول حساب CDF

ما هو الفرق بين PDF و CDF؟

تصف دالة الكثافة الاحتمالية (PDF)، التي يُشار إليها بـ f(x)، كثافة الاحتمالية عند نقطة معينة x لمتغير عشوائي مستمر. إنه ليس الاحتمال نفسه، بل هو مقياس للاحتمالية النسبية للمتغير العشوائي الذي يأخذ قيمة قريبة من x. تمثل المساحة الموجودة أسفل منحنى PDF على مدى فترة معينة الاحتمالية التي يقع فيها المتغير العشوائي ضمن تلك الفترة.

تعطي دالة التوزيع التراكمي (CDF)، التي يُشار إليها بـ F(x)، الاحتمالية التي سيأخذها المتغير العشوائي X قيمة أقل من أو تساوي x. إنه يمثل الاحتمالية التراكمية حتى نقطة معينة.

باختصار:

• PDF: كثافة الاحتمالية عند نقطة ما (متغيرات عشوائية مستمرة).
• CDF: الاحتمالية التراكمية حتى نقطة ما (كل من المتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة).

كيف تفسر رسمًا بيانيًا لـ CDF؟

يرسم الرسم البياني لـ CDF الاحتمالية التراكمية F(x) على المحور الرأسي مقابل قيم المتغير العشوائي x على المحور الأفقي. إليك كيفية تفسيره:

• قيمة المحور الرأسي: بالنسبة لقيمة معينة لـ x على المحور الأفقي، تمثل قيمة المحور الرأسي المقابلة الاحتمالية التي يكون فيها المتغير العشوائي أقل من أو يساوي x.
• الشكل: يكون CDF دائمًا غير متناقص، ويبدأ عند 0 ويقترب من 1 مع زيادة x. يعكس شكل المنحنى توزيع المتغير العشوائي. يشير المنحدر الحاد إلى كثافة احتمالية عالية في تلك المنطقة، بينما تشير المنطقة المسطحة إلى كثافة احتمالية منخفضة.
• الخطوات (للمتغيرات المنفصلة): بالنسبة للمتغيرات العشوائية المنفصلة، يكون الرسم البياني لـ CDF دالة متدرجة. يمثل ارتفاع كل خطوة احتمالية أخذ المتغير العشوائي لتلك القيمة المحددة.
• النسب المئوية: يمكن استخدام الرسم البياني لـ CDF للعثور على النسب المئوية للتوزيع. على سبيل المثال، النسبة المئوية الخامسة والعشرون (أو الربع الأول) هي قيمة x حيث F(x) = 0.25.

هل يمكن أن يكون CDF أكبر من 1؟

لا، لا يمكن أن يكون CDF أكبر من 1 أبدًا. بحكم التعريف، يمثل CDF،‏ F(x)، الاحتمالية التي يكون فيها المتغير العشوائي X أقل من أو يساوي x. تقع الاحتمالات دائمًا بين 0 و 1، شاملاً. لذلك، فإن أقصى قيمة يمكن أن يحققها CDF هي 1، والتي تمثل احتمالية أن يأخذ المتغير العشوائي أي قيمة ممكنة.

رياضيًا:

$$0 ≤ F(x) ≤ 1 for all x$$

لماذا يعتبر CDF مهمًا في الاحتمالات؟

يعتبر CDF مهمًا في الاحتمالات لعدة أسباب رئيسية:

• توصيف كامل للتوزيع: يوفر وصفًا كاملاً للتوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي. معرفة CDF تسمح لنا بتحديد الاحتمالات لأي فاصل زمني للقيم.
• حساب الاحتمالات: يسمح بسهولة حساب الاحتمالات مثل P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a).
• الاستدلال الإحصائي: يتم استخدامه في اختبار الفرضيات وتقدير الفترة الاحتمالية.
• المحاكاة: إنه ضروري لتوليد أرقام عشوائية من توزيع معين (باستخدام أخذ العينات بالتحويل العكسي).

كيف يتم استخدام CDF في التعلم الآلي؟

تستخدم CDFs في التعلم الآلي بطرق مختلفة، بما في ذلك:

• هندسة الميزات: يمكن استخدام CDFs لتحويل الميزات، مما يجعلها أكثر ملاءمة لبعض خوارزميات التعلم الآلي. على سبيل المثال، يمكن أن يؤدي تحويل ميزة باستخدام CDF الخاص بها إلى جعلها موزعة بشكل طبيعي.
• معايرة الاحتمالات: في مهام التصنيف، غالبًا ما تنتج نماذج التعلم الآلي احتمالات. يمكن استخدام CDFs لمعايرة هذه الاحتمالات، مما يضمن توافقها جيدًا مع الترددات المرصودة.
• اكتشاف الحالات الشاذة: يمكن استخدام CDFs لتحديد القيم المتطرفة أو الحالات الشاذة في مجموعة البيانات. على سبيل المثال، يمكن اعتبار نقاط البيانات التي تقع في الأطراف القصوى من CDF (أي ذات قيم CDF منخفضة جدًا أو عالية جدًا) حالات شاذة.
• تحليل البقاء على قيد الحياة: تستخدم CDFs لنمذجة الوقت حتى وقوع حدث ما (على سبيل المثال، توقف العملاء، أو فشل المعدات).