Mathos AI | حاسبة الاحتمالية الثنائية - احسب الاحتمالات فوراً

المفهوم الأساسي لحساب الاحتمالية الثنائية

ما هو حساب الاحتمالية الثنائية؟

حساب الاحتمالية الثنائية هو أداة قوية في الاحتمالات والإحصاء تساعدنا في تحديد احتمالية الحصول على عدد معين من النجاحات في سلسلة من المحاولات المستقلة. فكر في الأمر وكأنك تقلب عملة معدنية عدة مرات وتريد معرفة احتمالية الحصول على عدد معين من الصور. كل قلبة هي محاولة، والحصول على صورة هو نجاح. يمنحنا حساب الاحتمالية الثنائية الأدوات اللازمة لتحديد هذه الأنواع من الاحتمالات كمياً.

وبشكل أكثر رسمية، فإنه ينطبق عندما يكون لدينا:

• عدد ثابت من المحاولات.
• كل محاولة مستقلة عن الأخرى (لا تؤثر نتيجة إحدى المحاولات على نتائج المحاولات الأخرى).
• لكل محاولة نتيجتان محتملتان فقط: النجاح أو الفشل.
• يظل احتمال النجاح ثابتًا من محاولة إلى أخرى.

المصطلحات والتعريفات الأساسية

قبل أن نتعمق في العمليات الحسابية، دعنا نحدد المصطلحات الأساسية:

• المحاولة: مثال واحد لتجربة ما. مثال: رمي النرد مرة واحدة.

• المحاولات المستقلة: المحاولات التي لا تؤثر فيها نتيجة إحداها على نتيجة أي محاولة أخرى. مثال: قلب العملة المعدنية عدة مرات.

• النجاح: النتيجة المرجوة للمحاولة. مثال: رمي '4' على النرد.

• الفشل: أي نتيجة لا تعتبر نجاحًا. مثال: رمي أي رقم آخر غير '4' على النرد.

• احتمالية النجاح (p): احتمالية تحقيق النجاح في محاولة واحدة. مثال: احتمالية رمي '4' على نرد ذي ستة أوجه عادلة هي 1/6.

$$p = \frac{1}{6}$$

• احتمالية الفشل (q): احتمالية عدم تحقيق النجاح في محاولة واحدة. يتم حسابه على النحو التالي 1 - p. مثال: احتمالية عدم رمي '4' هي 1 - (1/6) = 5/6.

$$q = 1 - p = \frac{5}{6}$$

• عدد المحاولات (n): العدد الإجمالي للمرات التي يتم فيها تكرار التجربة. مثال: رمي النرد 10 مرات يعني n = 10.

• عدد النجاحات (k): عدد المرات التي تريد أن يحدث فيها النجاح ضمن محاولات 'n'. مثال: الرغبة في رمي الرقم '4' مرتين بالضبط في 10 رميات، إذن k=2.

كيفية إجراء حساب الاحتمالية الثنائية

دليل خطوة بخطوة

يدور حساب الاحتمالية الثنائية حول صيغة واحدة. دعنا نحلل كيفية استخدامه:

1. صيغة الاحتمالية الثنائية:

يتم إعطاء احتمالية الحصول على k من النجاحات بالضبط في n من المحاولات بواسطة:

$$P(X = k) = (nCk) * p^k * q^(n-k)$$

أين:

• P(X = k): احتمالية الحصول على k من النجاحات بالضبط في n من المحاولات.

• nCk: المعامل الثنائي، ويقرأ n اختر k. وهو يمثل عدد طرق اختيار k من النجاحات من n من المحاولات. يتم حسابه على النحو التالي:

$$nCk = \frac{n!}{k! * (n-k)!}$$

حيث يشير ! إلى العاملي (على سبيل المثال، 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1).

• p^k: احتمالية الحصول على k من النجاحات.

• q^(n-k): احتمالية الحصول على (n-k) من الإخفاقات.

2. خطوات الحساب:

1. حدد n و k و p و q: اقرأ المشكلة بعناية وحدد قيم عدد المحاولات (n)، وعدد النجاحات التي تهتم بها (k)، واحتمالية النجاح في محاولة واحدة (p)، واحتمالية الفشل في محاولة واحدة (q = 1 - p).

2. احسب المعامل الثنائي (nCk): استخدم الصيغة

$$nCk = \frac{n!}{k! * (n-k)!}$$

تذكر أن 0! = 1.

3. احسب p^k: ارفع احتمالية النجاح (p) إلى قوة عدد النجاحات (k).

4. احسب q^(n-k): ارفع احتمالية الفشل (q) إلى قوة عدد حالات الفشل (n-k).

5. ضع القيم في الصيغة: استبدل القيم المحسوبة في صيغة الاحتمالية الثنائية:

$$P(X = k) = (nCk) * p^k * q^(n-k)$$

6. احسب النتيجة: قم بإجراء الضرب للعثور على الاحتمالية P(X = k).

3. مثال:

لنفترض أنك قمت بقلب عملة معدنية عادلة 4 مرات. ما هي احتمالية الحصول على صورتين بالضبط؟

1. حدد n و k و p و q:

• n = 4 (عدد القلابات)
• k = 2 (عدد الصور)
• p = 0.5 (احتمالية الحصول على صورة في قلبة واحدة)
• q = 0.5 (احتمالية الحصول على كتابة في قلبة واحدة)

2. احسب المعامل الثنائي (nCk):

$$4C2 = \frac{4!}{2! * 2!} = \frac{4 * 3 * 2 * 1}{(2 * 1) * (2 * 1)} = \frac{24}{4} = 6$$

3. احسب p^k:

$$(0.5)^2 = 0.25$$

4. احسب q^(n-k):

$$(0.5)^{(4-2)} = (0.5)^2 = 0.25$$

5. ضع القيم في الصيغة:

$$P(X = 2) = 6 * 0.25 * 0.25$$

6. احسب النتيجة:

$$P(X = 2) = 0.375$$

لذلك، فإن احتمالية الحصول على صورتين بالضبط في 4 قلبات للعملة هي 0.375 أو 37.5٪.

الأخطاء الشائعة التي يجب تجنبها

• تحديد n و k و p و q بشكل غير صحيح: تأكد جيدًا من أنك حددت كل قيمة من هذه القيم بشكل صحيح من نص المسألة. من الأخطاء الشائعة الخلط بين 'n' و 'k'.

• عدم حساب المعامل الثنائي بشكل صحيح: المعامل الثنائي هو جزء أساسي من الصيغة. تأكد من أنك تفهم العاملي وكيفية حساب nCk. استخدم آلة حاسبة إذا لزم الأمر، خاصة بالنسبة للقيم الأكبر من n و k.

• نسيان حساب q: تذكر أن q = 1 - p. إذا حددت 'p' فقط، فستحصل على إجابة خاطئة.

• افتراض الاستقلالية عندما لا تكون موجودة: لا تنطبق صيغة الاحتمالية الثنائية إلا على المحاولات المستقلة. إذا كانت نتيجة إحدى المحاولات تؤثر على نتيجة محاولة أخرى، فلا يمكنك استخدام هذه الصيغة. أنت بحاجة إلى طريقة مختلفة.

• سوء فهم السؤال: انتبه إلى ما إذا كان السؤال يسأل عن احتمالية الحصول على بالضبط k من النجاحات، أو على الأقل k من النجاحات، أو على الأكثر k من النجاحات. إذا كان على الأقل أو على الأكثر، فستحتاج إلى حساب احتمالات ثنائية متعددة وجمعها معًا.

• أخطاء الآلة الحاسبة: عند التعامل مع الأسس والعامليات، خاصة مع الأرقام الكبيرة، تكون أخطاء الآلة الحاسبة شائعة. تحقق جيدًا من مدخلاتك ونتائجك.

حساب الاحتمالية الثنائية في العالم الحقيقي

التطبيقات في مختلف المجالات

تعد حسابات الاحتمالية الثنائية متعددة الاستخدامات بشكل مدهش وتظهر في العديد من المجالات:

• مراقبة الجودة: تخيل مصنعًا ينتج الأدوات. يمكنهم استخدام الاحتمالية الثنائية لتحديد احتمالية العثور على عدد معين من الأدوات المعيبة في دفعة ما. على سبيل المثال، إذا كانت 2% من الأدوات معيبة عادةً، فما هي احتمالية العثور على 3 أدوات معيبة في عينة مكونة من 50 قطعة؟

• البحث الطبي: عند اختبار دواء جديد، يستخدم الباحثون الاحتمالية الثنائية لحساب احتمالية استجابة عدد معين من المرضى للعلاج بشكل إيجابي. إذا كان العلاج يحقق معدل نجاح بنسبة 60%، فما هي احتمالية تحسن 7 مرضى على الأقل من بين 10 مرضى؟

• استطلاعات الرأي والدراسات الاستقصائية: تعتمد استطلاعات الرأي السياسية بشكل كبير على الاحتمالية الثنائية. إذا أظهر استطلاع للرأي أن 55% من الناخبين يؤيدون مرشحًا ما، فما هي احتمالية أن تظهر عينة عشوائية من 100 ناخب أغلبية (أكثر من 50) تدعم المرشح؟

• علم الوراثة: يساعد الاحتمالية الثنائية على التنبؤ باحتمالية وراثة سمات معينة. إذا كان كلا الوالدين حاملين لجين متنحي، وكان لكل طفل فرصة بنسبة 25% لوراثة الحالة، فما هي احتمالية إنجاب طفلين مصابين بالضبط من بين 4 أطفال؟

• التسويق: تحقق حملة تسويقية معدل نجاح بنسبة 10% في تحقيق عملية بيع بعد مشاهدة أحد العملاء لإعلان. ما هي احتمالية الحصول على 5 مبيعات بالضبط من 30 مشاهدة للإعلان؟

دراسات الحالة والأمثلة

دراسة الحالة 1: لعبة رمي العملة

تتضمن اللعبة رمي عملة متحيزة 6 مرات. العملة متحيزة بحيث تكون احتمالية الحصول على صورة 0.7. ما هي احتمالية الحصول على 4 صور بالضبط؟

• n = 6 (عدد الرميات)
• k = 4 (عدد الصور)
• p = 0.7 (احتمالية الحصول على صورة)
• q = 1 - 0.7 = 0.3 (احتمالية الحصول على كتابة)

$$P(X = 4) = (6C4) * (0.7)^4 * (0.3)^2$$ $$6C4 = \frac{6!}{4! * 2!} = \frac{6 * 5}{2 * 1} = 15$$ $$P(X = 4) = 15 * (0.7)^4 * (0.3)^2 = 15 * 0.2401 * 0.09 = 0.324135$$

إن احتمالية الحصول على 4 صور بالضبط هي 0.324 تقريبًا.

دراسة الحالة 2: رميات كرة السلة الحرة

يسجل لاعب كرة سلة 80% من رمياته الحرة. إذا قام بتنفيذ 5 رميات حرة في مباراة، فما هي احتمالية تسجيل 4 رميات على الأقل؟

على الأقل 4 تعني تسجيل 4 رميات أو 5 رميات حرة. لذلك، نحتاج إلى حساب P(X=4) + P(X=5).

• n = 5 (عدد الرميات الحرة)
• p = 0.8 (احتمالية تسجيل رمية حرة)
• q = 0.2 (احتمالية إضاعة رمية حرة)

بالنسبة إلى X = 4:

$$P(X = 4) = (5C4) * (0.8)^4 * (0.2)^1$$ $$5C4 = \frac{5!}{4! * 1!} = 5$$ $$P(X = 4) = 5 * 0.4096 * 0.2 = 0.4096$$

بالنسبة إلى X = 5:

$$P(X = 5) = (5C5) * (0.8)^5 * (0.2)^0$$ $$5C5 = 1$$ $$P(X = 5) = 1 * 0.32768 * 1 = 0.32768$$

لذلك، فإن احتمالية تسجيل 4 رميات حرة على الأقل هي:

$$P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728$$

إن احتمالية تسجيل 4 رميات حرة على الأقل هي 0.737 تقريبًا.

الأسئلة الشائعة حول حساب الاحتمالية الثنائية

ما هي صيغة حساب الاحتمالية الثنائية؟

صيغة حساب الاحتمالية الثنائية هي:

$$P(X = k) = (nCk) * p^k * q^(n-k)$$

أين:

• P(X = k) هي احتمالية الحصول على k من النجاحات بالضبط في n من المحاولات.
• nCk هو المعامل الثنائي، ويتم حسابه على النحو التالي

$$\frac{n!}{k! * (n-k)!}$$

• p هو احتمالية النجاح في محاولة واحدة.
• q هو احتمالية الفشل في محاولة واحدة (q = 1 - p).
• n هو عدد المحاولات.
• k هو عدد النجاحات.

ما هو الفرق بين الاحتمالية الثنائية والاحتمالية الطبيعية؟

تتعامل الاحتمالية الثنائية مع البيانات المنفصلة، بينما تتعامل الاحتمالية الطبيعية مع البيانات المستمرة.

• الثنائية: يتم استخدامها عندما يكون لديك عدد ثابت من المحاولات المستقلة، ولكل منها نتيجتان محتملتان (النجاح أو الفشل). أنت تحسب عدد النجاحات. مثال: عدد الصور في 10 قلبات للعملة (لا يمكنك الحصول إلا على أعداد صحيحة من الصور).

• الطبيعية: يتم استخدامها للمتغيرات المستمرة التي يمكن أن تأخذ أي قيمة ضمن نطاق. مثال: طول الطلاب في فصل.

هناك فرق رئيسي آخر وهو شكل التوزيع. التوزيع الثنائي منفصل ويمكن أن يكون ملتويًا، بينما التوزيع الطبيعي مستمر ومتماثل (على شكل جرس). ومع ذلك، بالنسبة لـ 'n' كبيرة بما فيه الكفاية و 'p' ليست قريبة جدًا من 0 أو 1، يمكن تقريب التوزيع الثنائي بتوزيع طبيعي.

هل يمكن استخدام الاحتمالية الثنائية للنتائج غير الثنائية؟

لا، تم تصميم صيغة الاحتمالية الثنائية الأساسية للحالات التي تحتوي على نتيجتين محتملتين فقط (النتائج الثنائية: النجاح أو الفشل).

ومع ذلك، يمكنك أحيانًا إعادة صياغة مشكلة ذات نتائج متعددة لتناسب الإطار الثنائي. على سبيل المثال، إذا قمت برمي نرد وتريد معرفة احتمالية رمي 6 مرتين بالضبط في 5 رميات، فيمكنك تحديد النجاح على أنه رمي 6 والفشل على أنه رمي أي رقم آخر (1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5).

بالنسبة للحالات التي تحتوي على أكثر من نتيجتين متميزتين حيث تريد تحليل احتمالات كل نتيجة، يمكنك استخدام التوزيع متعدد الحدود، وهو تعميم للتوزيع الثنائي.

ما هي بعض الأدوات لحساب الاحتمالية الثنائية؟

يمكن للعديد من الأدوات المساعدة في حسابات الاحتمالية الثنائية:

• الآلات الحاسبة: تحتوي العديد من الآلات الحاسبة العلمية على وظائف مدمجة لحساب العامليات والمعاملات الثنائية (nCr أو nCk). تحتوي بعضها أيضًا على وظائف احتمالية ثنائية مباشرة (binompdf، binomcdf).

• برامج جداول البيانات (مثل Excel وGoogle Sheets): تقدم هذه البرامج وظائف مثل BINOM.DIST (في Excel) التي تحسب الاحتمالات الثنائية. يمكنك بسهولة تحديد عدد النجاحات والمحاولات واحتمالية النجاح وما إذا كنت تريد دالة كتلة الاحتمالية (PMF) لـ k من النجاحات بالضبط أو دالة التوزيع التراكمي (CDF) لـ k من النجاحات على الأكثر.

• البرامج الإحصائية (مثل R وPython مع SciPy): توفر هذه البرامج وظائف إحصائية واسعة النطاق، بما في ذلك حسابات الاحتمالية الثنائية، وتسمح بإجراء تحليلات وتصورات أكثر تعقيدًا.

• حاسبات الاحتمالية الثنائية عبر الإنترنت: تقدم العديد من مواقع الويب حاسبات احتمالية ثنائية مجانية. Mathos AI هو مثال! هذه مريحة للحسابات السريعة والاستكشاف.

ما مدى دقة حسابات الاحتمالية الثنائية؟

تعتبر حسابات الاحتمالية الثنائية دقيقة من الناحية النظرية عندما يتم استيفاء افتراضات المحاولات المستقلة وعدد المحاولات الثابت واحتمالية النجاح الثابت والنتائج الثنائية بشكل مثالي.

ومع ذلك، في التطبيقات الواقعية:

• أخطاء التقريب: عند إجراء العمليات الحسابية يدويًا أو باستخدام الآلات الحاسبة، يمكن أن تتراكم أخطاء التقريب، خاصة عند التعامل مع احتمالات صغيرة جدًا أو أرقام كبيرة. يمكن أن يؤدي استخدام برنامج بدقة أعلى إلى تخفيف ذلك.

• انتهاك الافتراضات: تعتمد دقة النموذج (باستخدام الاحتمالية الثنائية) على مدى تطابق الموقف الواقعي مع الافتراضات. إذا لم تكن المحاولات مستقلة حقًا، أو تغيرت احتمالية النجاح من محاولة إلى أخرى، فسيكون الحساب الثنائي تقريبيًا، وستكون دقته محدودة.

• التقريبات المستخدمة: كما ذكرنا سابقًا، بالنسبة لـ 'n' كبيرة، يمكن تقريب التوزيع الثنائي بالتوزيع الطبيعي أو توزيع بواسون. تقدم هذه التقريبات درجة من الخطأ، ولكنها قد تكون مفيدة عندما يصبح حساب الاحتمالات الثنائية الدقيقة مكثفًا من الناحية الحسابية. تعتمد دقة هذه التقريبات على القيم المحددة لـ 'n' و 'p'. بشكل عام، يكون التقريب أفضل عندما تكون 'n' كبيرة و 'p' قريبة من 0.5.