Mathos AI | آلة حاسبة للمتباينات - حل المتباينات الخطية والتربيعية

المقدمة

هل تشعر بالحيرة من المتباينات وكيفية حلها أو رسمها؟ المتباينات هي مفهوم أساسي في الرياضيات، وهي ضرورية لفهم نطاقات القيم وحل المشكلات الواقعية. سواء كنت طالبًا جديدًا في الجبر أو شخصًا يقوم بتحديث مهاراته الرياضية، ستجعل هذه الدليل المتباينات سهلة الفهم والتطبيق.

في هذا الدليل الشامل، سنستكشف:

• ما هي المتباينة؟
• كيفية حل المتباينة
• كيفية رسم المتباينات
• متى تقوم بتغيير علامة المتباينة؟
• متباينات القيمة المطلقة
• هل يمكن أن تكون المتباينة دالة؟
• استخدام آلة حاسبة Mathos AI للمتباينات للحصول على حلول سريعة ودقيقة

بنهاية هذا الدليل، سيكون لديك فهم قوي للمتباينات وكيفية العمل معها بثقة.

ما هي المتباينة؟

المتباينة هي عبارة رياضية تقارن بين تعبيرين باستخدام رموز المتباينة. تُظهر أن كمية واحدة أكبر من، أو أقل من، أو أكبر من أو تساوي، أو أقل من أو تساوي كمية أخرى.

رموز المتباينة

• أكبر من: $>$
• أقل من: $<$
• أكبر من أو يساوي: $\geq$
• أقل من أو يساوي: $\leq$
• غير متساوي: $\neq$

مثال:

• $x>5$: $x$ أكبر من $5$.
• $y \leq-2$: $y$ أقل من أو يساوي $-2$.

فهم المتباينات

تمثل المتباينات مجموعة من الحلول الممكنة بدلاً من قيمة واحدة. وهي ضرورية في:

• الجبر: حل المعادلات التي تتضمن المتباينات.
• الرسم البياني: تصور الحلول على خط الأعداد أو مستوى الإحداثيات.
• المشكلات الواقعية: نمذجة السيناريوهات حيث تكون الكميات لها حدود (مثل قيود الميزانية، حدود السرعة).

كيف تحل المتباينات؟

دليل خطوة بخطوة لحل المتباينات

حل المتباينات مشابه لحل المعادلات، ولكن مع قواعد خاصة عند الضرب أو القسمة على أعداد سالبة.

مثال:

حل المتباينة:

$$2 x+3<7$$

الخطوة 1: عزل الحد المتغير

اطرح 3 من كلا الجانبين:

$$\begin{gathered} 2 x+3-3<7-3 \\ 2 x<4 \end{gathered}$$

الخطوة 2: حل من أجل $x$

اقسم كلا الجانبين على 2 :

$$\begin{gathered} \frac{2 x}{2}<\frac{4}{2} \\ x<2 \end{gathered}$$

الحل:

$$x<2$$

قواعد مهمة

1. الجمع/الطرح: يمكنك إضافة أو طرح نفس الرقم من كلا الجانبين دون تغيير علامة عدم المساواة.
2. الضرب/القسمة بأعداد موجبة: يمكنك ضرب أو قسمة كلا الجانبين على عدد موجب دون تغيير علامة عدم المساواة.
3. الضرب/القسمة بأعداد سالبة: عندما تضرب أو تقسم كلا الجانبين على عدد سالب، يجب عليك قلب علامة عدم المساواة.

مثال:

حل عدم المساواة:

$$-3 x>9$$

اقسم كلا الجانبين على -3 (واقلب علامة عدم المساواة):

$$x<-3$$

الحل:

$$x<-3$$

متى تقلب علامة عدم المساواة؟

تقلب علامة عدم المساواة عندما:

• تضرب أو تقسم كلا الجانبين من عدم المساواة على عدد سالب.

لماذا؟

لأن الضرب أو القسمة على عدد سالب يعكس ترتيب عدم المساواة.

مثال:

بالنظر إلى $-2 x \geq 6$ :

1. اقسم كلا الجانبين على -2:

$$\frac{-2 x}{-2} \leq \frac{6}{-2}$$

(اقلب علامة عدم المساواة) 2. تبسيط:

$${ }^{\downarrow} x \leq-3$$

كيفية حل عدم المساواة

حل عدم المساواة الخطية

مثال:

حل $5-2 x \leq 11$.

الخطوة 1: عزل الحد المتغير

اطرح 5 من كلا الجانبين:

$$\begin{gathered} 5-2 x-5 \leq 11-5 \\ -2 x \leq 6 \end{gathered}$$

الخطوة 2: حل من أجل $x$

اقسم كلا الجانبين على -2 (تذكر أن تقلب علامة عدم المساواة):

$$\begin{gathered} \frac{-2 x}{-2} \geq \frac{6}{-2} \\ x \geq-3 \end{gathered}$$

الحل:

$$x \geq-3$$

حل عدم المساواة المركبة

عدم المساواة المركبة تتضمن عدمين مرتبطين بـ "و" أو "أو".

مثال (باستخدام "و"):

حل $-1<2 x-3 \leq 5$.

الخطوة 1: حل كل عدم مساواة بشكل منفصل

عدم المساواة الأولى:

$$-1<2 x-3$$

أضف 3:

$$\begin{gathered} -1+3<2 x \\ 2<2 x \end{gathered}$$

اقسم على 2:

$$1<x$$

عدم المساواة الثانية:

$$2 x-3 \leq 5$$

أضف 3:

$$2 x \leq 8$$

قسّم على 2 :

$$x \leq 4$$

الخطوة 2: دمج الحلول

$$1<x \leq 4$$

الحل: $x$ أكبر من 1 وأقل من أو يساوي 4.

كيفية رسم المتباينات

يساعد رسم المتباينات في تصور مجموعة الحلول على خط الأعداد أو مستوى الإحداثيات. رسم على خط الأعداد

مثال:

ارسم $x>2$.

الخطوات:

1. ارسم خط الأعداد: ضع علامات على الأرقام ذات الصلة.
2. دائرة مفتوحة أو مغلقة:

• دائرة مفتوحة عند 2 (لأن $x$ ليس مساوياً لـ 2).

3. تظليل المنطقة:

• ظلل إلى يمين 2 (القيم الأكبر من 2).

رسم المتباينات الخطية في متغيرين

المتباينات مثل $y \leq 2 x+1$

الخطوات:

1. ارسم خط الحدود:

• استبدل المتباينة بعلامة المساواة: $y=2 x+1$.
• ارسم الخط. استخدم خطاً صلباً لـ $\leq$ أو $\geq$، وخطاً متقطعاً لـ $<$ أو $>$.

2. اختبر نقطة (عادةً $(0,0)$):

• إذا كانت $(0,0)$ تحقق المتباينة، ظلل الجانب الذي يحتوي على $(0,0)$.

3. ظلل المنطقة المناسبة:

• ظلل أسفل الخط لـ $\leq$، وأعلى لـ $\geq$.

مثال:

ارسم $y>-x+2$.

1. ارسم خطاً متقطعاً لـ $y=-x+2$.
2. اختبر النقطة $(0,0)$ :

$$\begin{gathered} 0>-(0)+2 \\ 0>2 \quad \text { (خطأ) } \end{gathered}$$

بما أن نقطة الاختبار لا تحقق المتباينة، ظلل الجانب المعاكس.

3. ظلل فوق الخط.

متباينات القيمة المطلقة

تقيس القيمة المطلقة المسافة بين رقم والصفر على خط الأعداد.

أنواع متباينات القيمة المطلقة

1. أقل من $(|x|<a)$ :

• متباينة "و": $-a<x<a$

2. أكبر من $(|x|>a)$ :

• متباينة "أو": $x<-a$ أو $x>a$

مثال 1:

حل $|x-3| \leq 5$.

الخطوات:

1. إعداد المتباينة المركبة:

$$-5 \leq x-3 \leq 5$$

2. حل لـ $x$ :

أضف $3$ إلى جميع الأجزاء:

$$\begin{aligned} -5+3 & \leq x \leq 5+3 \\ -2 & \leq x \leq 8 \end{aligned}$$

الحل:

$$-2 \leq x \leq 8$$

مثال 2:

حل $|2 x+1|>7$.

الخطوات:

1. إعداد متباينة "أو":

$$2 x+1<-7 \quad \text { أو } \quad 2 x+1>7$$

2. حل كل متباينة:

أول عدم المساواة:

$$\begin{gathered} 2 x+1<-7 \\ 2 x<-8 \\ x<-4 \end{gathered}$$

ثاني عدم المساواة:

$$\begin{gathered} 2 x+1>7 \\ 2 x>6 \\ x>3 \end{gathered}$$

الحل:

$$x<-4 \text { أو } x>3$$

هل يمكن أن يكون عدم المساواة دالة؟

عدم المساواة بحد ذاته ليس دالة، لكنه يمكن أن يحدد مجموعة من القيم التي توجد لها دالة.

فهم الدوال وعدم المساواة

• دالة: علاقة حيث كل إدخال له مخرج واحد بالضبط.
• عدم المساواة: يصف مجموعة من القيم التي تلبي شرطًا.

مثال:

عدم المساواة $y \geq x^2$ يمثل جميع النقاط حيث $y$ أكبر من أو يساوي $x^2$.

• رسوميًا: إنها المنطقة فوق القطع المكافئ $y=x^2$.
• العلاقة مع الدوال: يمكن أن تقيد عدم المساواة مجال أو نطاق الدوال.

استخدام آلة حساب عدم المساواة Mathos AI

حل عدم المساواة يدويًا يمكن أن يكون مستهلكًا للوقت وعرضة للأخطاء. آلة حساب عدم المساواة Mathos AI تبسط هذه العملية، مما يوفر حلولًا سريعة ودقيقة.

الميزات

• تتعامل مع عدم المساواة المختلفة: خطية، تربيعية، قيمة مطلقة، وأكثر.
• حلول خطوة بخطوة: فهم كل خطوة في حل عدم المساواة.
• تمثيل رسومي: تصور الحل على خط الأعداد أو مستوى الإحداثيات.
• واجهة سهلة الاستخدام: سهلة لإدخال عدم المساواة وتفسير النتائج.

كيفية استخدام الآلة الحاسبة

1. الوصول إلى الآلة الحاسبة: زيارة موقع Mathos AI والتنقل إلى آلة حساب عدم المساواة.
2. إدخال عدم المساواة: أدخل عدم المساواة الخاص بك، مثل $2 x+3<7$.
3. انقر على حساب: الآلة الحاسبة تعالج عدم المساواة.
4. عرض الحل:

• مجموعة الحل: تعرض الحل لـ $x$.

• شرح خطوة بخطوة: فهم كيف تم الوصول إلى الحل.

• رسم: تمثيل رسومي للحل.

مثال:

حل $|x-4|>5$ باستخدام آلة حساب عدم المساواة Mathos AI.

• الخطوة 1: أدخل $|x-4|>5$ في الآلة الحاسبة.
• الخطوة 2: انقر على حساب.
• الخطوة 3: توفر الآلة الحاسبة:
• الحل: $x<-1$ أو $x>9$
• الخطوات: تظهر كيفية تقسيم وعدم المساواة وحلها.
• الرسم البياني: تمثيل بصري على خط الأعداد.

الخلاصة

فهم عدم المساواة أمر أساسي لإتقان الجبر وحل المشكلات في العالم الحقيقي. من خلال تعلم كيفية حل عدم المساواة، ورسمها، ومعرفة متى يجب قلب علامة عدم المساواة، يمكنك مواجهة مجموعة واسعة من التحديات الرياضية.

النقاط الرئيسية:

• تمثل عدم المساواة نطاقات من القيم، وليس مجرد أرقام محددة.

• تتضمن خطوات حل عدم المساواة خطوات مشابهة لحل المعادلات، مع اهتمام خاص بضرب أو قسمة كلا الجانبين على أعداد سالبة.

• يساعد رسم عدم المساواة في تصور مجموعات الحلول.

• تتطلب عدم المساواة المطلقة إعداد عدم المساواة المركب.

• آلة حساب عدم المساواة Mathos AI هي مورد قيم للحصول على حلول سريعة ودقيقة.

• استخدم الأدوات: استخدم آلة حساب Mathos AI للتحقق من عملك.

• استكشف التطبيقات: انظر كيف تنطبق عدم المساواة في مجالات مثل الاقتصاد والهندسة والعلوم.

الأسئلة الشائعة

1. ما هي عدم المساواة؟

عدم المساواة هي عبارة رياضية تقارن بين تعبيرين، مما يشير إلى أن أحدهما أكبر من أو أقل من أو أكبر من أو يساوي أو أقل من أو يساوي الآخر.

2. كيف تحل عدم المساواة؟

• عزل المتغير على جانب واحد.
• إجراء عمليات مشابهة لحل المعادلات.
• قلب علامة عدم المساواة عند ضرب أو قسمة كلا الجانبين على عدد سالب.

3. متى تقلب علامة عدم المساواة؟

تقوم بتغيير علامة عدم المساواة عندما تضرب أو تقسم كلا الجانبين من عدم المساواة على عدد سالب.

4. كيف ترسم عدم المساواة؟

• بالنسبة لعدد واحد: استخدم خط الأعداد، وحدد القيمة، وظلل المنطقة التي تمثل مجموعة الحل.
• بالنسبة لعددين: ارسم خط الحدود، استخدم نقطة اختبار، وظلل المنطقة المناسبة على المستوى الإحداثي.

5. كيف تحل عدم المساواة التي تتضمن القيم المطلقة؟

• قم بإعداد عدم المساواة المركبة بناءً على النوع:
• بالنسبة لـ $|x|<a$، اكتب $-a<x<a$.
• بالنسبة لـ $|x|>a$، اكتب $x<-a$ أو $x>a$.
• حل كل عدم مساواة على حدة.

6. هل يمكن أن تكون عدم المساواة دالة؟

عدم المساواة نفسها ليست دالة، ولكن يمكن أن تحدد مجموعة من القيم التي توجد من أجلها دالة أو تقيد مجال أو نطاق دالة.

7. كيف ترسم عدم المساواة؟

ارجع إلى قسم "كيف ترسم عدم المساواة" للحصول على خطوات مفصلة حول رسم عدم المساواة على خط الأعداد أو المستوى الإحداثي.

8. هل هناك آلة حاسبة لحل عدم المساواة؟

نعم، يمكن لآلة حاسبة Mathos Al Inequality حل أنواع مختلفة من عدم المساواة، وتقديم حلول خطوة بخطوة وتمثيلات رسومية.