Mathos AI | Triple Integral Calculator - Compute Triple Integrals Easily

Introduction

क्या आप बहुविकरण कलन में कदम रख रहे हैं और त्रैतीयक समाकलन से अभिभूत महसूस कर रहे हैं? आप अकेले नहीं हैं! त्रैतीयक समाकलन कलन में एक मौलिक अवधारणा है, जो तीन-आयामी स्थान में आयतन, द्रव्यमान और अन्य मात्राओं की गणना के लिए आवश्यक है। यह व्यापक मार्गदर्शिका त्रैतीयक समाकलन को स्पष्ट करने का प्रयास करती है, जटिल अवधारणाओं को समझने में आसान व्याख्याओं में तोड़ती है, विशेष रूप से शुरुआती लोगों के लिए।

इस मार्गदर्शिका में, हम अन्वेषण करेंगे:

• त्रैतीयक समाकलन क्या है?
• त्रैतीयक समाकलन का उपयोग क्यों करें?
• त्रैतीयक समाकलन कैसे गणना करें
  • पुनरावृत्त समाकलन
  • समाकलन के क्रम को बदलना
• विभिन्न निर्देशांक प्रणालियों में त्रैतीयक समाकलन
  • कार्टेशियन निर्देशांक
  • सिलिंड्रिकल निर्देशांक
  • गोलाकार निर्देशांक
• त्रैतीयक समाकलन के उदाहरण
• Mathos AI त्रैतीयक समाकलन कैलकुलेटर का उपयोग करना
• निष्कर्ष
• अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

इस मार्गदर्शिका के अंत तक, आपके पास त्रैतीयक समाकलन की एक ठोस समझ होगी और आप जटिल समस्याओं को हल करने के लिए उन्हें लागू करने में आत्मविश्वास महसूस करेंगे।

त्रैतीयक समाकलन क्या है?

मूल बातें समझना

त्रैतीयक समाकलन एकल और द्विआधारी समाकलन के विचार को तीन आयामों में विस्तारित करता है। यह आपको एक कार्य को तीन-आयामी क्षेत्र में समाकलित करने की अनुमति देता है, जो स्थान में आयतन, द्रव्यमान और अन्य भौतिक मात्राओं से निपटने के लिए आवश्यक है।

परिभाषा:

एक कार्य $f(x, y, z)$ का त्रैतीयक समाकलन एक क्षेत्र $V$ पर तीन-आयामी स्थान में इस प्रकार दर्शाया जाता है:

$$\iiint_V f(x, y, z) d V$$

• $\\iiint$ तीन चर के ऊपर समाकलन का संकेत देता है।
• $f(x, y, z)$ वह कार्य है जिसे समाकलित किया जा रहा है।
• $d V$ एक विभेदक आयतन तत्व का प्रतिनिधित्व करता है।
• $V$ तीन-आयामी स्थान में समाकलन का क्षेत्र है।

मुख्य अवधारणाएँ:

• विभेदन मात्रा तत्व ( $d V$ ): यह अंतरिक्ष में एक अत्यंत छोटे मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है जिसके ऊपर कार्य का समाकलन किया जाता है।
• समाकलन की सीमाएँ: यह उस क्षेत्र $V$ की सीमाएँ परिभाषित करती हैं जिसके ऊपर आप समाकलन कर रहे हैं।
• पुनरावृत्त समाकलन: एक त्रैतीय समाकलन को पुनरावृत्त समाकलन के रूप में मूल्यांकित किया जा सकता है, प्रत्येक चर के ऊपर क्रमिक रूप से समाकलन करते हुए।

संकेतन और अवधारणाएँ

आयताकार (कार्टेशियन) निर्देशांकों में, त्रैतीय समाकलन को इस प्रकार लिखा जाता है:

$$\iiint_V f(x, y, z) d x d y d z$$

• समाकलन का क्रम ( $\mathrm{dx}, \mathrm{dy}, \mathrm{dz}$ ) भिन्न हो सकता है, और कभी-कभी क्रम बदलने से गणना को सरल बनाया जा सकता है।

वास्तविक दुनिया का उपमा:

कल्पना करें कि आप एक त्रि-आयामी कंटेनर को एक पदार्थ से भर रहे हैं, और आप एक बदलती घनत्व $f(x, y, z)$ के आधार पर कुल मात्रा की गणना करना चाहते हैं। त्रैतीय समाकलन कंटेनर के भीतर हर अत्यंत छोटे मात्रा तत्व के योगदान को जोड़ता है ताकि कुल मात्रा ज्ञात की जा सके।

त्रैतीय समाकलन का उपयोग क्यों करें?

भौतिकी और इंजीनियरिंग में अनुप्रयोग

त्रैतीय समाकलन का व्यापक रूप से भौतिकी और इंजीनियरिंग में उपयोग किया जाता है ताकि ऐसे मात्राएँ की गणना की जा सके जैसे:

• मात्रा: असामान्य आकार के त्रि-आयामी क्षेत्रों की मात्रा की गणना करना।
• द्रव्यमान: बदलती घनत्व वाले वस्तुओं का द्रव्यमान खोजना।
• संतुलन बिंदु: द्रव्यमान वितरण के संतुलन बिंदु का निर्धारण करना।
• जड़ता का क्षण: वस्तुओं के घूर्णन गुणों की गणना करना।

मात्रा और द्रव्यमान की गणना

जब आप उन वस्तुओं के साथ काम कर रहे हैं जहाँ घनत्व पूरे मात्रा में भिन्न होता है, त्रैतीय समाकलन आपको घनत्व कार्य को मात्रा के ऊपर समाकलित करने की अनुमति देता है ताकि कुल द्रव्यमान ज्ञात किया जा सके:

$$\mathrm{Mass}=\iiint_V \rho(x, y, z) d V$$

• $\quad \rho(x, y, z)$ किसी भी बिंदु पर वस्तु के भीतर घनत्व कार्य का प्रतिनिधित्व करता है।

उदाहरण:

एक ठोस गोले के द्रव्यमान की गणना करना जिसकी घनत्व त्रिज्या के साथ भिन्न होती है।

त्रैतीय इंटीग्रल का महत्व:

• सटीकता: तीन-आयामी स्थान में आयतन और द्रव्यमान के लिए सटीक गणनाएँ प्रदान करता है।
• बहुपरकारी: विभिन्न समन्वय प्रणालियों में लागू, समस्या की समरूपता के अनुसार अनुकूलित।
• उन्नत विषयों के लिए आधार: वेक्टर कलन, विद्युतचुम्बकत्व, तरल गतिकी, और अधिक में अवधारणाओं को समझने के लिए आवश्यक।

त्रैतीय इंटीग्रल की गणना कैसे करें

पुनरावृत्त इंटीग्रल

एक त्रैतीय इंटीग्रल को प्रत्येक चर के ऊपर क्रमिक रूप से इंटीग्रेट करके पुनरावृत्त इंटीग्रल के रूप में मूल्यांकित किया जा सकता है। सामान्य रूप है:

$$\iiint_V f(x, y, z) d x d y d z=\int_{z_0}^{z_1}\left(\int_{y_0}^{y_1}\left(\int_{x_0}^{x_1} f(x, y, z) d x\right) d y\right) d z$$

त्रैतीय इंटीग्रल का मूल्यांकन करने के चरण:

1. इंटीग्रल सेट करें:

• प्रत्येक चर के लिए इंटीग्रेशन की सीमाएँ निर्धारित करें।
• यदि पहले से नहीं दिया गया है तो $f(x, y, z)$ को व्यक्त करें।

2. एक चर के सापेक्ष इंटीग्रेट करें:

• सबसे अंदरूनी इंटीग्रल करें, अन्य चर को स्थिरांक के रूप में मानते हुए।

3. अगले चर पर आगे बढ़ें:

• चरण 2 के परिणाम का उपयोग करके अगला इंटीग्रल करें।

4. अंतिम इंटीग्रेशन पूरा करें:

• अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए सबसे बाहरी इंटीग्रल करें।

उदाहरण:

$\iiint_V x d V$ का मूल्यांकन करें, जहाँ $V$ वह आयताकार बॉक्स है जो $0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2,0 \leq$ $z \leq 3$ द्वारा परिभाषित है।

समाधान:

1. इंटीग्रल सेट करें:

$$\int_{z=0}^3 \int_{y=0}^2 \int_{x=0}^1 x d x d y d z$$

2. $x$ के सापेक्ष इंटीग्रेट करें:

$$\int_{x=0}^1 x d x=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac{1}{2}$$

3. $y$ के सापेक्ष इंटीग्रेट करें:

$$\int_{y=0}^2 \frac{1}{2} d y=\left.\frac{1}{2} y\right|_0 ^2=\frac{1}{2}(2)=1$$

4. $z$ के सापेक्ष इंटीग्रेट करें:

$$\int_{z=0}^3 1 d z=\left.z\right|_0 ^3=3$$

उत्तर:

$$\iiint_V x d V=3$$

इंटीग्रेशन के क्रम को बदलना

कभी-कभी, इंटीग्रेशन के क्रम को बदलना गणना को सरल बना सकता है, विशेष रूप से जब इंटीग्रेशन की सीमाएँ अन्य चर के कार्य हों।

उदाहरण:

दिए गए एक समाकल के साथ सीमाएँ अन्य चर पर निर्भर करती हैं, क्रम को पुनर्व्यवस्थित करने से आसान समाकलन हो सकता है।

विभिन्न निर्देशांक प्रणालियों में त्रैतीय समाकल

कार्टेशियन निर्देशांक

कार्टेशियन निर्देशांकों में, विभेदन मात्रा तत्व है:

$$d V=d x d y d z$$

• उन क्षेत्रों के लिए उपयुक्त जो निर्देशांक अक्षों के साथ संरेखित हैं।

उदाहरण:

आयताकार प्रिज्म या बक्सों पर त्रैतीय समाकल का मूल्यांकन करना।

सिलेंड्रिकल निर्देशांक

जब किसी धुरी के चारों ओर घूर्णनात्मक समरूपता प्रदर्शित करने वाली समस्याओं का सामना करना पड़ता है, तो सिलेंड्रिकल निर्देशांक अधिक सुविधाजनक होते हैं।

परिवर्तन:

• $x=r \cos \theta$
• $y=r \sin \theta$
• $z=z$
• $d V=r d r d \theta d z$

विभेदन मात्रा तत्व:

$$d V=r d r d \theta d z$$

अनुप्रयोग:

• सिलेंडर, शंकु, और अन्य गोलाकार समरूपता वाले आकारों की मात्रा की गणना करना।

उदाहरण:

एक सिलेंडर की मात्रा का मूल्यांकन करें जिसकी त्रिज्या $R$ और ऊँचाई $h$ है।

समाधान:

1. समाकल सेट करें:

$$\int_{z=0}^h \int_{\theta=0}^{2 \pi} \int_{r=0}^R r d r d \theta d z$$

2. $r$ के सापेक्ष समाकलन करें:

$$\int_{r=0}^R r d r=\left[\frac{r^2}{2}\right]_0^R=\frac{R^2}{2}$$

3. $\theta$ के सापेक्ष समाकलन करें:

$$\int_{\theta=0}^{2 \pi} \frac{R^2}{2} d \theta=\left.\frac{R^2}{2} \theta\right|_0 ^{2 \pi}=\frac{R^2}{2}(2 \pi)=\pi R^2$$

4. $z$ के सापेक्ष समाकलन करें:

$$\int_{z=0}^h \pi R^2 d z=\left.\pi R^2 z\right|_0 ^h=\pi R^2 h$$

उत्तर:

$$\text { मात्रा }=\pi R^2 h$$

गोलाकार निर्देशांक

गोलाकार समरूपता वाली समस्याओं के लिए, गोलाकार निर्देशांक समाकलन को सरल बनाते हैं।

परिवर्तन:

• $x=\rho \sin \phi \cos \theta$
• $y=\rho \sin \phi \sin \theta$
• $z=\rho \cos \phi$
• $d V=\rho^2 \sin \phi d \rho d \phi d \theta$

विभेदन मात्रा तत्व:

$$d V=\rho^2 \sin \phi d \rho d \phi d \theta$$

अनुप्रयोग:

• गोलों, अर्धगोलों, और अन्य रेडियली समरूप आकारों की मात्रा की गणना करना।

उदाहरण:

एक गोल की मात्रा खोजें जिसकी त्रिज्या $R$ है।

समाधान:

1. समाकल सेट करें:

$$\int_{\theta=0}^{2 \pi} \int_{\phi=0}^{\pi} \int_{\rho=0}^R \rho^2 \sin \phi d \rho d \phi d \theta$$

2. \rho के सापेक्ष समाकल करें:

$$\int_{\rho=0}^R \rho^2 d \rho=\left[\frac{\rho^3}{3}\right]_0^R=\frac{R^3}{3}$$

3. \phi के सापेक्ष समाकल करें:

$$\int_{\phi=0}^{\pi} \frac{R^3}{3} \sin \phi d \phi=\frac{R^3}{3}[-\cos \phi]_0^{\pi}=\frac{R^3}{3}(-\cos \pi+\cos 0)=\frac{R^3}{3}(-(-1)+1)=\frac{2 R^3}{3}$$

4. \theta के सापेक्ष समाकल करें:

$$\int_{\theta=0}^{2 \pi} \frac{2 R^3}{3} d \theta=\left.\frac{2 R^3}{3} \theta\right|_0 ^{2 \pi}=\frac{2 R^3}{3}(2 \pi)=\frac{4 \pi R^3}{3}$$

उत्तर:

$$\text { आयतन }=\frac{4}{3} \pi R^3$$

त्रैतीय समाकल उदाहरण

आइए कुछ उदाहरणों के माध्यम से काम करें ताकि आपकी समझ मजबूत हो सके।

उदाहरण 1: \iiint_V z d V की गणना करें बॉक्स $0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2,0 \leq$ $z \leq 3$ के लिए।

समाधान:

1. समाकल सेट करें:

$$\int_{z=0}^3 \int_{y=0}^2 \int_{x=0}^1 z d x d y d z$$

2. $x$ के सापेक्ष समाकल करें:

$$\int_{x=0}^1 z d x=\left.z x\right|_0 ^1=z(1-0)=z$$

3. $y$ के सापेक्ष समाकल करें:

$$\int_{y=0}^2 z d y=\left.z y\right|_0 ^2=z(2-0)=2 z$$

4. $z$ के सापेक्ष समाकल करें:

$$\int_{z=0}^3 2 z d z=2\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^3=\left[z^2\right]_0^3=9-0=9$$

उत्तर:

$$\iiint_V z d V=9$$

उदाहरण 2: \iiint_V(x+y+z) d V का मूल्यांकन करें, जहाँ $V$ वह टेट्राहेड्रॉन है जो $x=0, y=0, z=0$, और $x+y+z=1$ द्वारा सीमित है।

समाधान:

1. समाकल के सीमाओं का निर्धारण करें:

• चूंकि $x, y$, और $z$ सभी नकारात्मक नहीं हैं और $x+y+z \leq 1$, हम $z$ को 0 से $1-x-y$ तक समाकल करेंगे।

1. समाकल सेट करें:

   $$\int_{x=0}^1 \int_{y=0}^{1-x} \int_{z=0}^{1-x-y}(x+y+z) d z d y d x$$

2. $z$ के सापेक्ष समाकल करें:

   $$\int_{z=0}^{1-x-y}(x+y+z) d z=\left[(x+y) z+\frac{z^2}{2}\right]_0^{1-x-y}=(x+y)(1-x-y)+\frac{(1-x-y)^2}{2}$$

3. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

   Let $u=1-x-y$ :

   $$(x+y) u+\frac{u^2}{2}=(x+y)(1-x-y)+\frac{(1-x-y)^2}{2}$$

4. $y$ के सापेक्ष समाकलन करें :

   अब, $y$ के सापेक्ष $0$ से $1-x$ तक अभिव्यक्ति का समाकलन करें।

5. $x$ के सापेक्ष समाकलन करें :

   अंततः, $x$ के सापेक्ष $0$ से $1$ तक परिणामी अभिव्यक्ति का समाकलन करें।

समाकलनों की जटिलता के कारण, इस समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए गणनात्मक उपकरणों का उपयोग करना सलाहकार है, जैसे कि Mathos AI ट्रिपल इंटीग्रल कैलकुलेटर।

उत्तर:

$$\iiint_V(x+y+z) d V=\frac{1}{8}$$

Mathos AI ट्रिपल इंटीग्रल कैलकुलेटर का उपयोग करना

हाथ से ट्रिपल इंटीग्रल की गणना करना समय-खपत करने वाला और जटिल हो सकता है, विशेष रूप से असमान क्षेत्रों या जटिल कार्यों के लिए। Mathos AI ट्रिपल इंटीग्रल कैलकुलेटर इस प्रक्रिया को सरल बनाता है, त्वरित और सटीक समाधान प्रदान करता है जिसमें विस्तृत स्पष्टीकरण होते हैं।

विशेषताएँ

• जटिल क्षेत्रों को संभालता है:
  • विभिन्न क्षेत्रों पर समाकलन करता है, जिसमें असमानताओं द्वारा परिभाषित क्षेत्र शामिल हैं।
• कई समन्वय प्रणाली:
  • कार्टेशियन, सिलिंड्रिकल, और स्पेरिकल समन्वय का समर्थन करता है।
• चरण-दर-चरण समाधान:
  • समाकलन के प्रत्येक भाग के लिए विस्तृत चरण प्रदान करता है।
• उपयोगकर्ता के अनुकूल इंटरफ़ेस:
  • कार्यों और समाकलन की सीमाओं को इनपुट करना आसान है।
• ग्राफिकल प्रतिनिधित्व:
  • समाकलन के क्षेत्र और कार्य का दृश्य प्रस्तुत करता है।

उदाहरण

समस्या:

मूल्यांकन करें $\iiint_V x y z d V$, जहाँ $V$ वह क्षेत्र है जो $0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x, 0 \leq z \leq y$ द्वारा सीमित है।

Mathos AI का उपयोग करते हुए:

1. कार्य इनपुट करें:

$$f(x, y, z)=x y z$$

2. सीमाएँ सेट करें:

• $x: 0$ से 1
• $y: 0$ से $x$
• $z: 0$ से $y$

3. गणना करें:

   गणना पर क्लिक करें।

4. परिणाम:

   कैलकुलेटर प्रदान करता है:

   $$\iiint_V x y z d V=\frac{1}{192}$$

5. स्पष्टीकरण:

   • $z, y$, और $x$ के सापेक्ष समाकलन करता है।
   • प्रत्येक समाकलन चरण को दिखाता है, जिसमें प्रतिस्थापन और सरलीकरण शामिल है।

6. ग्राफ:

   समाकलन के 3D क्षेत्र को प्रदर्शित करता है।

लाभ

• सटीकता: गणना की गलतियों को समाप्त करता है।
• दक्षता: जटिल गणनाओं पर समय बचाता है।
• अध्ययन उपकरण: विस्तृत व्याख्याओं के साथ समझ को बढ़ाता है।
• पहुंच: ऑनलाइन उपलब्ध, इसे कहीं भी इंटरनेट एक्सेस के साथ उपयोग करें।

निष्कर्ष

ट्रिपल इंटीग्रल मल्टीवेरिएबल कलकुलस में एक शक्तिशाली उपकरण है, जो आपको तीन-आयामी स्थान में वॉल्यूम, द्रव्यमान और अन्य मात्राओं की गणना करने में सक्षम बनाता है। ट्रिपल इंटीग्रल को सेट अप और मूल्यांकन करना, साथ ही उपयुक्त समन्वय प्रणाली का चयन करना, गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग में जटिल समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है।

मुख्य बिंदु:

• परिभाषा: ट्रिपल इंटीग्रल तीन आयामों में इंटीग्रेशन का विस्तार करता है, वॉल्यूम पर कार्यों का इंटीग्रेट करना।
• गणना: इसे अनुक्रमिक इंटीग्रल के रूप में मूल्यांकित किया जाता है, प्रत्येक चर पर क्रमिक रूप से इंटीग्रेट करते हुए।
• समन्वय प्रणाली: सही समन्वय प्रणाली (कार्टेशियन, सिलिंड्रिकल, स्पेरिकल) का चयन इंटीग्रेशन को सरल बनाता है।
• अनुप्रयोग: वॉल्यूम, परिवर्तनीय घनत्व के साथ द्रव्यमान, केंद्र द्रव्यमान, और अधिक की गणना में उपयोग किया जाता है।
• Mathos AI कैलकुलेटर: सटीक और कुशल गणनाओं के लिए एक मूल्यवान संसाधन, अध्ययन और समस्या समाधान में सहायता करता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

1. ट्रिपल इंटीग्रल क्या है?

ट्रिपल इंटीग्रल इंटीग्रेशन के सिद्धांत को तीन आयामों में विस्तारित करता है। यह आपको एक कार्य $f(x, y, z)$ को तीन-आयामी क्षेत्र $V$ पर इंटीग्रेट करने की अनुमति देता है:

$$\iiint_V f(x, y, z) d V$$

2. ट्रिपल इंटीग्रल का उपयोग क्यों करें?

ट्रिपल इंटीग्रल का उपयोग वॉल्यूम, द्रव्यमान, और अन्य मात्राओं की गणना के लिए किया जाता है, विशेष रूप से जब किसी क्षेत्र में कार्यों के साथ काम कर रहे होते हैं। ये भौतिकी, इंजीनियरिंग, और उच्च स्तर की गणित में आवश्यक हैं।

3. आप ट्रिपल इंटीग्रल की गणना कैसे करते हैं?

इसे एक पुनरावृत्त समाकल के रूप में मूल्यांकन करके:

1. उपयुक्त सीमाओं के साथ समाकल स्थापित करें।
2. प्रत्येक चर के ऊपर क्रमिक रूप से समाकल करें।
3. अगले चर पर आगे बढ़ने से पहले प्रत्येक चरण में सरल बनाएं।

4. त्रैतीय समाकल में कौन से निर्देशांक प्रणाली का उपयोग किया जाता है?

• कार्टेशियन निर्देशांक ($\mathbf{x , y , z }$): उन क्षेत्रों के लिए जो निर्देशांक अक्षों के साथ संरेखित हैं।
• सिलिंड्रिकल निर्देशांक (r, $\boldsymbol{\theta}, \mathbf{z}$): उन क्षेत्रों के लिए जिनमें एक अक्ष के चारों ओर घूर्णनात्मक समरूपता है।
• गोलाकार निर्देशांक $(\rho, \phi, \theta)$: उन क्षेत्रों के लिए जिनमें गोलाकार समरूपता है।

5. त्रैतीय समाकल में समाकलन के क्रम को कैसे बदलें?

समाकलन के नए क्रम के आधार पर प्रत्येक चर के लिए समाकलन की सीमाओं का पुनर्मूल्यांकन करके। यदि नया क्रम कार्य या क्षेत्र की समरूपता के साथ बेहतर मेल खाता है तो यह समाकल को सरल बना सकता है।

6. विभिन्न निर्देशांक प्रणालियों में विभेदनात्मक मात्रा तत्व क्या है?

• कार्टेशियन: $d V=d x d y d z$
• सिलिंड्रिकल: $d V=r d r d \theta d z$
• गोलाकार: $d V=\rho^2 \sin \phi d \rho d \phi d \theta$

7. क्या मैं त्रैतीय समाकल की गणना के लिए कैलकुलेटर का उपयोग कर सकता हूँ?

हाँ, आप त्रैतीय समाकल की गणना के लिए Mathos AI Triple Integral Calculator का उपयोग कर सकते हैं, जो चरण-दर-चरण समाधान और ग्राफिकल प्रतिनिधित्व प्रदान करता है।

8. त्रैतीय समाकल के कुछ अनुप्रयोग क्या हैं?

• मात्रा की गणना: असामान्य तीन-आयामी क्षेत्रों की।
• द्रव्यमान की गणना: जब घनत्व एक मात्रा में भिन्न होता है।
• भौतिकी अनुप्रयोग: विद्युतचुंबकत्व, द्रव गतिशीलता, और थर्मोडायनामिक्स में।

9. मैं त्रैतीय समाकल के लिए सबसे अच्छा निर्देशांक प्रणाली कैसे चुनूं?

उस निर्देशांक प्रणाली का चयन करें जो क्षेत्र या कार्य की समरूपता से मेल खाती है:

• कार्टेशियन: आयताकार या बॉक्स के आकार के क्षेत्रों के लिए।
• सिलिंड्रिकल: एक अक्ष के चारों ओर गोलाकार समरूपता वाले क्षेत्रों के लिए।
• गोलाकार: गोलाकार या रेडियली समरूप क्षेत्रों के लिए।