Mathos AI | परिमेय फलन कैलकुलेटर

परिमेय फलन गणना की मूल अवधारणा

परिमेय फलन गणना क्या है?

परिमेय फलन गणना में परिमेय फलनों का हेरफेर, सरलीकरण और विश्लेषण शामिल है। एक परिमेय फलन एक ऐसा फलन है जिसे दो बहुपदों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$$

जहां (p(x)) और (q(x)) बहुपद हैं, और (q(x)) समान रूप से शून्य नहीं है। ये गणनाएं बीजगणित, पूर्व-कलन, कलन और विभिन्न अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में आवश्यक हैं। मुख्य कौशल में अभिव्यक्तियों को सरल बनाना, अंकगणितीय संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) करना, समीकरणों को हल करना और ग्राफ बनाना शामिल है।

उदाहरण के लिए,

$$f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$$

एक परिमेय फलन है।

परिमेय फलनों के घटकों को समझना

परिमेय फलनों को समझने के लिए, उनके घटकों को समझना महत्वपूर्ण है:

• बहुपद: परिमेय फलन बहुपदों से बने होते हैं। एक बहुपद चरों और गुणांकों से बना एक व्यंजक है, जिसमें केवल जोड़, घटाव, गुणा और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के संचालन शामिल हैं। उदाहरणों में शामिल हैं: (x^2 + 3x - 5), (2x^5 - 1), और (7)।

• अंश: परिमेय फलन (f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}) में बहुपद (p(x)) अंश है।

• हर: परिमेय फलन (f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}) में बहुपद (q(x)) हर है। हर शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि शून्य से भाग अपरिभाषित है। इससे परिमेय फलन के डोमेन पर प्रतिबंध लगते हैं।

• डोमेन: परिमेय फलन का डोमेन सभी वास्तविक संख्याओं का समूह है, सिवाय (x) के उन मानों को छोड़कर जो हर को शून्य बनाते हैं। ये अपवर्जित मान ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी और छिद्रों की पहचान करने के लिए महत्वपूर्ण हैं।

उदाहरण के लिए, परिमेय फलन में

$$f(x) = \frac{x + 1}{x - 3}$$

अंश (x + 1) है, हर (x - 3) है, और डोमेन (x = 3) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

परिमेय फलन गणना कैसे करें

चरण दर चरण गाइड

1. परिमेय व्यंजकों को सरल बनाना:

• गुणनखंड: अंश और हर दोनों को उनके अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।
• निरस्त करना: अंश और हर के बीच किसी भी उभयनिष्ठ गुणनखंड की पहचान करें और उन्हें निरस्त करें।
• प्रतिबंध: (x) के उन मानों को नोट करें जो मूल हर को शून्य बनाते हैं। ये मान मूल फलन के डोमेन में नहीं हैं, सरलीकरण के बाद भी।

उदाहरण के लिए, सरल करें

$$\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}$$

• गुणनखंड:

$$\frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x + 1)}$$

• निरस्त करें:

$$\frac{x - 1}{x + 1}, x \neq -1$$

2. परिमेय व्यंजकों का गुणा:

• सभी अंशों और हरों का गुणनखंड करें।
• उभयनिष्ठ गुणनखंडों को निरस्त करें।
• शेष अंशों और हरों का गुणा करें।

उदाहरण के लिए,

$$\frac{x}{x+2} \cdot \frac{x+2}{x-3} = \frac{x(x+2)}{(x+2)(x-3)} = \frac{x}{x-3}, x \neq -2, x \neq 3$$

3. परिमेय व्यंजकों का भाग:

• दूसरे परिमेय व्यंजक (भाजक) को पलट दें।
• पहले परिमेय व्यंजक को उल्टे दूसरे परिमेय व्यंजक से गुणा करें।
• परिणामी व्यंजक को सरल करें।

उदाहरण के लिए,

$$\frac{x+1}{x} \div \frac{x+1}{x^2} = \frac{x+1}{x} \cdot \frac{x^2}{x+1} = \frac{(x+1)x^2}{x(x+1)} = x, x \neq 0, x \neq -1$$

4. परिमेय व्यंजकों का जोड़ और घटाव:

• परिमेय व्यंजकों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCD) ज्ञात करें।
• प्रत्येक परिमेय व्यंजक को LCD के साथ हर के रूप में फिर से लिखें।
• उभयनिष्ठ हर को रखते हुए अंशों को जोड़ें या घटाएँ।
• परिणामी व्यंजक को सरल करें।

उदाहरण के लिए,

$$\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1}$$

• LCD: (x(x+1))
• फिर से लिखें:

$$\frac{1(x+1)}{x(x+1)} + \frac{2x}{x(x+1)} = \frac{x+1+2x}{x(x+1)} = \frac{3x+1}{x(x+1)}, x \neq 0, x \neq -1$$

5. परिमेय समीकरणों को हल करना:

• समीकरण में सभी परिमेय व्यंजकों का LCD ज्ञात करें।
• हरों को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को LCD से गुणा करें।
• परिणामी बहुपद समीकरण को हल करें।
• मूल समीकरण में प्रत्येक समाधान को प्रतिस्थापित करके बाहरी समाधानों की जाँच करें।

उदाहरण के लिए, समीकरण में (x) के लिए हल करें:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$

• LCD: (6x)
• गुणा: (6x(\frac{1}{x} + \frac{1}{2}) = 6x(\frac{1}{3}))
• सरल करें: (6 + 3x = 2x)
• हल करें: (x = -6)
• जाँच करें: (\frac{1}{-6} + \frac{1}{2} = \frac{-1 + 3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3})। समाधान वैध है।

सामान्य गलतियाँ और उनसे कैसे बचें

• गुणनखंड करना भूल जाना: सरलीकरण करने से पहले हमेशा अंश और हर को पूरी तरह से गुणनखंडित करें। उभयनिष्ठ गुणनखंडों और चर पर प्रतिबंधों की पहचान करने के लिए यह आवश्यक है।

• पदों को गलत तरीके से निरस्त करना: केवल उभयनिष्ठ गुणनखंडों को निरस्त किया जा सकता है, पदों को नहीं। उदाहरण के लिए, (\frac{x+2}{x+3}) में, आप (x) पदों को निरस्त नहीं कर सकते।

• प्रतिबंधों को अनदेखा करना: हमेशा चर पर प्रतिबंधों की पहचान करें और बताएं। ये वे मान हैं जो मूल हर को शून्य बनाते हैं। ये डोमेन को परिभाषित करने और ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी और छिद्रों की पहचान करने के लिए महत्वपूर्ण हैं।

• बाहरी समाधानों को खोना: परिमेय समीकरणों को हल करते समय, यह सुनिश्चित करने के लिए हमेशा मूल समीकरण में अपने समाधानों की जाँच करें कि वे वैध हैं। जो समाधान हर को शून्य बनाते हैं वे बाहरी होते हैं।

• ऋणात्मक चिह्नों के साथ त्रुटियाँ: ऋणात्मक चिह्नों के साथ अत्यंत सावधानी बरतें, खासकर परिमेय व्यंजकों को घटाते समय। अंश में सभी पदों में ऋणात्मक चिह्न को सही ढंग से वितरित करें।

वास्तविक दुनिया में परिमेय फलन गणना

विज्ञान और इंजीनियरिंग में अनुप्रयोग

परिमेय फलनों का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में बड़े पैमाने पर किया जाता है:

• भौतिकी: मात्राओं के बीच संबंधों का वर्णन करना, जैसे बल और दूरी (उदाहरण के लिए, कूलम्ब का नियम)।

• रसायन विज्ञान: रासायनिक प्रतिक्रियाओं में प्रतिक्रिया दरों और सांद्रताओं का मॉडलिंग करना।

• विद्युत अभियंत्रण: सर्किट और सिग्नल प्रोसेसिंग का विश्लेषण करना। उदाहरण के लिए, AC सर्किट में प्रतिबाधा को परिमेय फलनों द्वारा दर्शाया जा सकता है।

• अर्थशास्त्र: लागत-लाभ अनुपात और अन्य आर्थिक संकेतकों का मॉडलिंग करना।

व्यावहारिक उदाहरण और केस स्टडी

1. मिश्रण समस्याएँ (रसायन विज्ञान): मान लीजिए कि आपके पास 20% खारा घोल के 10 लीटर हैं। आप सांद्रता को 30% तक बढ़ाना चाहते हैं। आपको कितना शुद्ध खारा घोल (100% सांद्रता) मिलाना होगा?

माना कि मिलाने के लिए शुद्ध खारे घोल की मात्रा (x) है। कुल आयतन (10 + x) होगा। प्रारंभिक घोल में नमक की मात्रा (0.20 \cdot 10 = 2) लीटर है। अंतिम घोल में नमक की मात्रा (2 + x) है। अंतिम घोल की सांद्रता इस प्रकार दी गई है:

$$\frac{2 + x}{10 + x} = 0.30$$

(x) के लिए हल करना:

$$2 + x = 0.30(10 + x) \\ 2 + x = 3 + 0.30x \\ 0.70x = 1 \\ x = \frac{1}{0.70} \approx 1.43 \text{ liters}$$

तो, आपको लगभग 1.43 लीटर शुद्ध खारा घोल मिलाने की आवश्यकता है।

2. विद्युत सर्किट (इंजीनियरिंग): एक प्रतिरोधक (R) और एक संधारित्र (C) युक्त एक समानांतर सर्किट की प्रतिबाधा (Z) इस प्रकार दी गई है:

$$\frac{1}{Z} = \frac{1}{R} + j\omega C$$

जहाँ (j) काल्पनिक इकाई है और (\omega) कोणीय आवृत्ति है। हम (Z) को परिमेय फलन के रूप में व्यक्त करने के लिए हल कर सकते हैं:

$$\frac{1}{Z} = \frac{1 + j\omega RC}{R} \\ Z = \frac{R}{1 + j\omega RC}$$

परिमेय फलन गणना के अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

परिमेय फलन और बहुपद फलन में क्या अंतर है?

एक बहुपद फलन एक ऐसा फलन है जिसे (p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ (n) एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है और गुणांक (a_i) स्थिरांक हैं।

एक परिमेय फलन एक ऐसा फलन है जिसे दो बहुपदों के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है, (f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}), जहाँ (p(x)) और (q(x)) बहुपद हैं और (q(x)) शून्य बहुपद नहीं है।

संक्षेप में, एक बहुपद फलन एक विशिष्ट प्रकार का परिमेय फलन है जहाँ हर 1 के बराबर होता है।

आप परिमेय फलन के अनंतस्पर्शी कैसे ज्ञात करते हैं?

• ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: ये (x) के उन मानों पर होते हैं जहाँ सरलीकृत परिमेय फलन का हर शून्य होता है। उन्हें ज्ञात करने के लिए, (q(x) = 0) को (x) के लिए हल करें, जहाँ (q(x)) सरलीकरण के बाद हर है।

• क्षैतिज अनंतस्पर्शी: ये (x) के धनात्मक या ऋणात्मक अनन्तता की ओर बढ़ने पर फलन के व्यवहार का वर्णन करते हैं। नियम अंश (p(x)) और हर (q(x)) की घातों पर निर्भर करता है:

• यदि घात((p(x))) < घात((q(x))), तो क्षैतिज अनंतस्पर्शी (y = 0) है।

• यदि घात((p(x))) = घात((q(x))), तो क्षैतिज अनंतस्पर्शी (y = \frac{\text{leading coefficient of } p(x)}{\text{leading coefficient of } q(x)}) है।

• यदि घात((p(x))) > घात((q(x))), तो कोई क्षैतिज अनंतस्पर्शी नहीं है (लेकिन एक तिर्यक अनंतस्पर्शी हो सकती है)।

• तिर्यक (तिरछी) अनंतस्पर्शी: ये तब होती हैं जब अंश की घात हर की घात से ठीक एक अधिक होती है। तिर्यक अनंतस्पर्शी ज्ञात करने के लिए, (p(x)) को (q(x)) से बहुपद दीर्घ विभाजन करें। भागफल (शेषफल के बिना) तिर्यक अनंतस्पर्शी का समीकरण है।

क्या परिमेय फलनों में छिद्र हो सकते हैं?

हाँ, परिमेय फलनों में छिद्र (हटाने योग्य असंततताएँ) हो सकते हैं। एक छिद्र तब होता है जब सरलीकरण के दौरान अंश और हर दोनों से एक गुणनखंड निरस्त हो जाता है। छिद्र का x-निर्देशांक वह मान है जो निरस्त गुणनखंड को शून्य के बराबर बनाता है। छिद्र का y-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, सरलीकृत परिमेय फलन में x-निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण के लिए:

$$f(x) = \frac{(x-2)(x+1)}{x-2}$$

यहाँ हमारे पास (x=2) पर एक छिद्र है। सरलीकरण के बाद हमें (f(x) = x+1) प्राप्त होता है। फिर, y-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम (f(2) = 2+1 = 3) करते हैं। इसलिए छिद्र ((2,3)) पर स्थित है।

आप एक जटिल परिमेय फलन को कैसे सरल करते हैं?

एक जटिल परिमेय फलन एक परिमेय फलन है जिसमें उसके अंश, हर या दोनों में एक या अधिक परिमेय व्यंजक होते हैं। एक जटिल परिमेय फलन को सरल बनाने के लिए:

1. अंश और हर को अलग-अलग सरल करें: अंश में किसी भी भिन्न को मिलाएं और हर में किसी भी भिन्न को मिलाएं।
2. सरलीकृत अंश को सरलीकृत हर से विभाजित करें: यह अंश को हर के व्युत्क्रम से गुणा करने के समान है।
3. परिणामी परिमेय व्यंजक को सरल करें: गुणनखंड करें और उभयनिष्ठ गुणनखंडों को निरस्त करें।

उदाहरण के लिए:

$$\frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{1}{x^2} - 1} = \frac{\frac{1+x}{x}}{\frac{1-x^2}{x^2}} = \frac{1+x}{x} \cdot \frac{x^2}{1-x^2} = \frac{(1+x)x^2}{x(1-x)(1+x)} = \frac{x}{1-x}, x \neq 0, x \neq -1, x \neq 1$$

रोजमर्रा की जिंदगी में परिमेय फलनों के कुछ सामान्य उपयोग क्या हैं?

हालांकि हमेशा स्पष्ट रूप से मान्यता प्राप्त नहीं होती है, परिमेय फलनों का उपयोग इसमें किया जाता है:

• ईंधन दक्षता: गैलन प्रति मील (MPG) की गणना में यात्रा की गई दूरी और खपत किए गए ईंधन का अनुपात शामिल होता है, जिसे एक परिमेय फलन द्वारा मॉडल किया जा सकता है।
• खाना बनाना: व्यंजनों में अक्सर सामग्रियों का अनुपात शामिल होता है। व्यंजनों को ऊपर या नीचे स्केल करने में परिमेय फलनों का उपयोग होता है।
• खेल: बल्लेबाजी औसत (हिट/बैटिंग) या अन्य सांख्यिकीय अनुपातों की गणना में परिमेय फलनों का उपयोग होता है।
• वित्त: ब्याज दरों, निवेश पर प्रतिफल (ROI) या अन्य वित्तीय अनुपातों की गणना में परिमेय फलनों का उपयोग होता है।
• निर्माण: छतों या रैंप के ढलानों को निर्धारित करने में अनुपातों (उदय/रन) का उपयोग होता है।