Mathos AI | Inequality Calculator - Solve Linear and Quadratic Inequalities

Introduction

क्या आप असमानताओं और उन्हें हल करने या ग्राफ करने के तरीके से उलझन में हैं? असमानताएँ गणित में एक मौलिक अवधारणा हैं, जो मानों की रेंज को समझने और वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए महत्वपूर्ण हैं। चाहे आप बीजगणित में नए छात्र हों या गणित के कौशल को सुधारने वाले व्यक्ति, यह गाइड असमानताओं को समझने और लागू करने में आसान बनाएगी।

इस व्यापक गाइड में, हम अन्वेषण करेंगे:

• असमानता क्या है?
• असमानता को कैसे हल करें
• असमानताओं को कैसे ग्राफ करें
• आप कब असमानता के चिन्ह को पलटते हैं?
• निरपेक्ष मान की असमानताएँ
• क्या असमानता एक कार्य हो सकती है?
• त्वरित और सटीक समाधानों के लिए Mathos AI असमानता कैलकुलेटर का उपयोग करना

इस गाइड के अंत तक, आपके पास असमानताओं की एक ठोस समझ होगी और आप उनके साथ आत्मविश्वास से काम कर सकेंगे।

असमानता क्या है?

असमानता एक गणितीय कथन है जो असमानता प्रतीकों का उपयोग करके दो अभिव्यक्तियों की तुलना करता है। यह दिखाता है कि एक मात्रा दूसरी मात्रा से अधिक, कम, अधिक या बराबर, या कम या बराबर है।

असमानता प्रतीक

• अधिक: $>$
• कम: $<$
• अधिक या बराबर: $geq$
• कम या बराबर: $leq$
• असमान: $eq$

उदाहरण:

• $x>5: x$ $5$ से अधिक है।
• $y leq-2: y$ $-2$ से कम या बराबर है।

असमानताओं को समझना

असमानताएँ संभावित समाधानों की एक रेंज का प्रतिनिधित्व करती हैं न कि एकल मान। ये आवश्यक हैं:

• बीजगणित: असमानताओं को शामिल करने वाले समीकरणों को हल करना।
• ग्राफिंग: संख्या रेखा या समन्वय तल पर समाधानों का दृश्यांकन करना।
• वास्तविक दुनिया की समस्याएँ: उन परिदृश्यों का मॉडलिंग करना जहाँ मात्राओं की सीमाएँ होती हैं (जैसे, बजट सीमाएँ, गति सीमाएँ)।

आप असमानताओं को कैसे हल करते हैं?

असमानताओं को हल करने के लिए चरण-दर-चरण गाइड

असमानताओं को हल करना समीकरणों को हल करने के समान है, लेकिन नकारात्मक संख्याओं से गुणा या भाग करते समय विशेष नियमों के साथ।

उदाहरण:

असमानता को हल करें:

$$2 x+3<7$$

चरण 1: चर पद को अलग करें

दोनों पक्षों से 3 घटाएं:

$$\begin{gathered} 2 x+3-3<7-3 \\ 2 x<4 \end{gathered}$$

चरण 2: $x$ के लिए हल करें

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें :

$$\begin{gathered} \frac{2 x}{2}<\frac{4}{2} \\ x<2 \end{gathered}$$

हल:

$$x<2$$

महत्वपूर्ण नियम

1. जोड़/घटाना: आप दोनों पक्षों पर समान संख्या जोड़ या घटा सकते हैं बिना असमानता के चिह्न को बदले।
2. सकारात्मक संख्याओं द्वारा गुणा/विभाजन: आप दोनों पक्षों को सकारात्मक संख्या से गुणा या विभाजित कर सकते हैं बिना असमानता के चिह्न को बदले।
3. नकारात्मक संख्याओं द्वारा गुणा/विभाजन: जब आप दोनों पक्षों को नकारात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करते हैं, तो आपको असमानता के चिह्न को पलटना चाहिए।

उदाहरण:

असमानता को हल करें:

$$-3 x>9$$

दोनों पक्षों को -3 से विभाजित करें (और असमानता के चिह्न को पलटें):

$$x<-3$$

हल:

$$x<-3$$

आप असमानता के चिह्न को कब पलटते हैं?

आप असमानता के चिह्न को पलटते हैं जब आप:

• असमानता के दोनों पक्षों को नकारात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करते हैं।

क्यों?

क्योंकि नकारात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करने से असमानता का क्रम उलट जाता है।

उदाहरण:

दिया गया $-2 x \geq 6$ :

1. दोनों पक्षों को -2 से विभाजित करें:

$$\frac{-2 x}{-2} \leq \frac{6}{-2}$$

(असमानता के चिह्न को पलटें) 2. सरल करें:

$${ }^{\downarrow} x \leq-3$$

असमानता को कैसे हल करें

रैखिक असमानताओं को हल करना

उदाहरण:

हल करें $5-2 x \leq 11$.

चरण 1: चर पद को अलग करें

दोनों पक्षों से 5 घटाएं:

$$\begin{gathered} 5-2 x-5 \leq 11-5 \\ -2 x \leq 6 \end{gathered}$$

चरण 2: $x$ के लिए हल करें

दोनों पक्षों को -2 से विभाजित करें (याद रखें कि असमानता के चिह्न को पलटना है):

$$\begin{gathered} \frac{-2 x}{-2} \geq \frac{6}{-2} \\ x \geq-3 \end{gathered}$$

हल:

$$x \geq-3$$

यौगिक असमानताओं को हल करना

एक यौगिक असमानता में दो असमानताएं होती हैं जो "और" या "या" द्वारा जुड़ी होती हैं।

उदाहरण ("और" का उपयोग करते हुए):

हल करें $-1<2 x-3 \leq 5$.

चरण 1: प्रत्येक असमानता को अलग से हल करें

पहली असमानता:

$$-1<2 x-3$$

3 जोड़ें:

$$\begin{gathered} -1+3<2 x \\ 2<2 x \end{gathered}$$

2 से विभाजित करें:

$$1<x$$

दूसरी असमानता:

$$2 x-3 \leq 5$$

3 जोड़ें:

$$2 x \leq 8$$

2 से विभाजित करें:

$$x \leq 4$$

चरण 2: समाधानों को मिलाना

$$1<x \leq 4$$

समाधान: $x$ 1 से बड़ा है और 4 के बराबर या उससे कम है।

असमानताओं को ग्राफ करना

असमानताओं को ग्राफ करना समाधान सेट को संख्या रेखा या समन्वय तल पर दृश्य बनाने में मदद करता है। संख्या रेखा पर ग्राफिंग

उदाहरण:

$x>2$ का ग्राफ बनाएं।

चरण:

1. एक संख्या रेखा खींचें: प्रासंगिक संख्याओं को चिह्नित करें।
2. खुला या बंद वृत्त:

• 2 पर खुला वृत्त (क्योंकि $x$ 2 के बराबर नहीं है)।

3. क्षेत्र को छायांकित करें:

• 2 के दाईं ओर छायांकित करें (2 से बड़े मान)।

दो चर में रैखिक असमानताओं को ग्राफ करना

असमानताएँ जैसे $y \leq 2 x+1$

चरण:

1. सीमा रेखा का ग्राफ बनाएं:

• असमानता को बराबर के चिन्ह से बदलें: $y=2 x+1$।
• रेखा खींचें। $\leq$ या $\geq$ के लिए ठोस रेखा का उपयोग करें, $<$ या $>$ के लिए बिंदीदार।

2. एक बिंदु का परीक्षण करें (आमतौर पर $(0,0)$):

• यदि $(0,0)$ असमानता को संतुष्ट करता है, तो $(0,0)$ को शामिल करने वाले पक्ष को छायांकित करें।

3. उचित क्षेत्र को छायांकित करें:

• $\leq$ के लिए रेखा के नीचे छायांकित करें, $\geq$ के लिए ऊपर।

उदाहरण:

$y>-x+2$ का ग्राफ बनाएं।

1. $y=-x+2$ के लिए बिंदीदार रेखा खींचें।
2. बिंदु $(0,0)$ का परीक्षण करें:

$$\begin{gathered} 0>-(0)+2 \\ 0>2 \quad \text { (गलत) } \end{gathered}$$

चूंकि परीक्षण बिंदु असमानता को संतुष्ट नहीं करता है, विपरीत पक्ष को छायांकित करें।

3. रेखा के ऊपर छायांकित करें।

निरपेक्ष मान असमानताएँ

निरपेक्ष मान संख्या की संख्या रेखा पर शून्य से दूरी को मापता है।

निरपेक्ष मान असमानताओं के प्रकार

1. कम $(|x|<a)$:

• "और" असमानता: $-a<x<a$

2. अधिक $(|x|>a)$:

• "या" असमानता: $x<-a$ या $x>a$

उदाहरण 1:

$|x-3| \leq 5$ को हल करें।

चरण:

1. यौगिक असमानता सेट करें:

$$-5 \leq x-3 \leq 5$$

2. $x$ के लिए हल करें:

सभी भागों में $3$ जोड़ें:

$$\begin{aligned} -5+3 & \leq x \leq 5+3 \\ -2 & \leq x \leq 8 \end{aligned}$$

समाधान:

$$-2 \leq x \leq 8$$

उदाहरण 2:

$|2 x+1|>7$ को हल करें।

चरण:

1. "या" असमानता सेट करें:

$$2 x+1<-7 \quad \text { या } \quad 2 x+1>7$$

2. प्रत्येक असमानता को हल करें:

पहली असमानता:

$$\begin{gathered} 2 x+1<-7 \\ 2 x<-8 \\ x<-4 \end{gathered}$$

दूसरी असमानता:

$$\begin{gathered} 2 x+1>7 \\ 2 x>6 \\ x>3 \end{gathered}$$

समाधान:

$$x<-4 \text { या } x>3$$

क्या असमानता एक फ़ंक्शन हो सकती है?

एक असमानता स्वयं एक फ़ंक्शन नहीं है, लेकिन यह उन मानों की एक श्रृंखला को परिभाषित कर सकती है जिसके लिए एक फ़ंक्शन मौजूद है।

फ़ंक्शनों और असमानताओं को समझना

• फ़ंक्शन: एक संबंध जहाँ प्रत्येक इनपुट का ठीक एक आउटपुट होता है।
• असमानता: उन मानों का वर्णन करती है जो एक स्थिति को संतुष्ट करते हैं।

उदाहरण:

असमानता $y \geq x^2$ उन सभी बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती है जहाँ $y$ $x^2$ से बड़ा या उसके बराबर है।

• ग्राफ़िकली: यह पराबोला $y=x^2$ के ऊपर का क्षेत्र है।
• फ़ंक्शनों से संबंध: असमानताएँ फ़ंक्शनों के डोमेन या रेंज को सीमित कर सकती हैं।

Mathos AI असमानता कैलकुलेटर का उपयोग करना

असमानताओं को मैन्युअल रूप से हल करना समय लेने वाला और त्रुटियों के प्रति संवेदनशील हो सकता है। Mathos AI असमानता कैलकुलेटर इस प्रक्रिया को सरल बनाता है, त्वरित और सटीक समाधान प्रदान करता है।

विशेषताएँ

• विभिन्न असमानताओं को संभालता है: रैखिक, द्विघात, निरपेक्ष मान, और अधिक।
• चरण-दर-चरण समाधान: असमानता को हल करने में प्रत्येक चरण को समझें।
• ग्राफिकल प्रतिनिधित्व: संख्या रेखा या समन्वय तल पर समाधान का दृश्यांकन करें।
• उपयोगकर्ता-अनुकूल इंटरफ़ेस: असमानताओं को इनपुट करना और परिणामों की व्याख्या करना आसान।

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. कैलकुलेटर तक पहुँचें: Mathos AI वेबसाइट पर जाएँ और असमानता कैलकुलेटर पर जाएँ।
2. असमानता इनपुट करें: अपनी असमानता दर्ज करें, जैसे $2 x+3<7$।
3. कैलकुलेट पर क्लिक करें: कैलकुलेटर असमानता को संसाधित करता है।
4. समाधान देखें:

• समाधान सेट: $x$ के लिए समाधान प्रदर्शित करता है।

• चरण-दर-चरण व्याख्या: समझें कि समाधान कैसे प्राप्त किया गया।

• ग्राफ: समाधान का दृश्य प्रतिनिधित्व।

उदाहरण:

समाधान $|x-4|>5$ का उपयोग करते हुए Mathos AI असमानता कैलकुलेटर।

• चरण 1: कैलकुलेटर में $|x-4|>5$ दर्ज करें।
• चरण 2: कैलकुलेट पर क्लिक करें।
• चरण 3: कैलकुलेटर प्रदान करता है:
• समाधान: $x<-1$ या $x>9$
• चरण: दिखाता है कि असमानता को कैसे विभाजित और हल किया गया।
• ग्राफ: संख्या रेखा पर दृश्य प्रतिनिधित्व।

निष्कर्ष

असमानताओं को समझना बीजगणित में महारत हासिल करने और वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है। असमानताओं को हल करना, उन्हें ग्राफ करना, और यह जानना कि कब असमानता के चिन्ह को पलटना है, आपको विभिन्न प्रकार की गणितीय चुनौतियों का सामना करने में मदद कर सकता है।

मुख्य बिंदु:

• असमानताएँ मानों की श्रेणियों का प्रतिनिधित्व करती हैं, केवल विशिष्ट संख्याएँ नहीं।

• असमानताओं को हल करना समीकरणों को हल करने के समान चरणों में शामिल होता है, नकारात्मक संख्याओं से गुणा या भाग करते समय विशेष ध्यान देने के साथ।

• असमानताओं को ग्राफ करना समाधान सेट को दृश्य रूप में प्रस्तुत करने में मदद करता है।

• पूर्णांक असमानताएँ यौगिक असमानताओं को स्थापित करने की आवश्यकता होती हैं।

• Mathos AI असमानता कैलकुलेटर त्वरित और सटीक समाधानों के लिए एक मूल्यवान संसाधन है।

• उपकरणों का उपयोग करें: अपने काम की जांच करने के लिए Mathos Al कैलकुलेटर का उपयोग करें।

• अनुप्रयोगों का अन्वेषण करें: देखें कि असमानताएँ अर्थशास्त्र, इंजीनियरिंग और विज्ञान जैसे क्षेत्रों में कैसे लागू होती हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

1. असमानता क्या है?

असमानता एक गणितीय कथन है जो दो अभिव्यक्तियों की तुलना करता है, यह संकेत करते हुए कि एक दूसरी से अधिक, कम, अधिक या बराबर, या कम या बराबर है।

2. आप असमानताओं को कैसे हल करते हैं?

• एक तरफ चर को अलग करें।
• समीकरणों को हल करने के समान संचालन करें।
• नकारात्मक संख्या से दोनों पक्षों को गुणा या भाग करते समय असमानता के चिन्ह को पलटें।

3. आप कब असमानता के चिन्ह को पलटते हैं?

आप असमानता के दोनों पक्षों को एक नकारात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता के चिह्न को पलट देते हैं।

4. असमानता को कैसे ग्राफ करें?

• एक चर के लिए: एक संख्या रेखा का उपयोग करें, मान को चिह्नित करें, और समाधान सेट का प्रतिनिधित्व करने वाले क्षेत्र को छायांकित करें।
• दो चर के लिए: सीमा रेखा को ग्राफ करें, एक परीक्षण बिंदु का उपयोग करें, और समन्वय विमान पर उपयुक्त क्षेत्र को छायांकित करें।

5. पूर्णांक मानों वाली असमानता को कैसे हल करें?

• प्रकार के आधार पर यौगिक असमानताएँ स्थापित करें:
• $|x|<a$ के लिए, लिखें $-a<x<a$।
• $|x|>a$ के लिए, लिखें $x<-a$ या $x>a$।
• प्रत्येक असमानता को अलग-अलग हल करें।

6. क्या असमानता एक कार्य हो सकती है?

एक असमानता स्वयं एक कार्य नहीं है, लेकिन यह उन मानों की एक श्रृंखला को परिभाषित कर सकती है जिसके लिए एक कार्य मौजूद है या एक कार्य के डोमेन या रेंज को सीमित कर सकती है।

7. असमानताओं को कैसे ग्राफ करें?

असमानताओं को संख्या रेखा या समन्वय विमान पर ग्राफ करने के लिए विस्तृत चरणों के लिए "असमानताओं को ग्राफ कैसे करें" अनुभाग देखें।

8. क्या असमानताओं को हल करने के लिए कोई कैलकुलेटर है?

हाँ, Mathos Al असमानता कैलकुलेटर विभिन्न प्रकार की असमानताओं को हल कर सकता है, चरण-दर-चरण समाधान और ग्राफिकल प्रतिनिधित्व प्रदान करता है।