Mathos AI | स्टैंडर्ड एरर कैलकुलेटर

स्टैंडर्ड एरर कैलकुलेशन की मूल अवधारणा

स्टैंडर्ड एरर कैलकुलेशन क्या है?

स्टैंडर्ड एरर (SE) एक सांख्यिकीय माप है जो नमूना माध्यों के बीच परिवर्तनशीलता का अनुमान लगाता है यदि आप उसी जनसंख्या से कई नमूने लेते हैं. यह अनिवार्य रूप से यह निर्धारित करता है कि आपका नमूना माध्य सही जनसंख्या माध्य का कितनी सटीक रूप से प्रतिनिधित्व करता है. एक छोटा स्टैंडर्ड एरर इंगित करता है कि आपका नमूना माध्य जनसंख्या माध्य का एक अच्छा अनुमान होने की संभावना है, जबकि एक बड़ा स्टैंडर्ड एरर अधिक परिवर्तनशीलता और कम परिशुद्धता का सुझाव देता है. यह एक नमूने के आधार पर जनसंख्या के बारे में विश्वसनीय निष्कर्ष निकालने के लिए महत्वपूर्ण है.

स्टैंडर्ड एरर को समझने के लिए, जनसंख्या और नमूने के बीच अंतर करना महत्वपूर्ण है:

• Population: वह पूरा समूह जिसका अध्ययन करने में आप रुचि रखते हैं. उदाहरण के लिए, एक शहर के सभी हाई स्कूल के छात्र.
• Parameter: एक संख्यात्मक मान जो जनसंख्या की विशेषता का वर्णन करता है. उदाहरण के लिए, उस शहर में सभी हाई स्कूल के छात्रों की औसत ऊंचाई.
• Sample: जनसंख्या का एक छोटा, प्रतिनिधि उपसमुच्चय जिससे आप डेटा एकत्र करते हैं. उदाहरण के लिए, शहर से यादृच्छिक रूप से चयनित 100 हाई स्कूल के छात्रों का समूह.
• Statistic: एक संख्यात्मक मान जो नमूने की विशेषता का वर्णन करता है. उदाहरण के लिए, आपके नमूने में 100 छात्रों की औसत ऊंचाई.

चूंकि पूरी आबादी से डेटा एकत्र करना अक्सर अव्यावहारिक होता है, इसलिए हम नमूनों पर निर्भर करते हैं. स्टैंडर्ड एरर हमें बताता है कि यदि हमने अलग-अलग नमूने लिए तो नमूना सांख्यिकी (जैसे नमूना माध्य) सही जनसंख्या पैरामीटर (जनसंख्या माध्य) से कितना भिन्न हो सकता है.

सबसे आम प्रकार मीन का स्टैंडर्ड एरर (SEM) है.

मीन के स्टैंडर्ड एरर का सूत्र है:

$$SEM = \frac{s}{\sqrt{n}}$$

कहाँ:

• SEM माध्य का स्टैंडर्ड एरर है.
• s नमूना मानक विचलन है. मानक विचलन नमूने के भीतर डेटा के प्रसार को मापता है.
• n नमूना आकार है.

उदाहरण के लिए, कल्पना कीजिए कि आप 5 यादृच्छिक रूप से चयनित छात्रों की ऊंचाइयों (सेंटीमीटर में) को मापते हैं और निम्नलिखित डेटा प्राप्त करते हैं: 150, 155, 160, 165, 170. नमूना माध्य 160 सेमी है, और मान लीजिए कि आप नमूना मानक विचलन की गणना लगभग 7.91 सेमी के रूप में करते हैं. तब SEM है:

$$SEM = \frac{7.91}{\sqrt{5}} \approx 3.54$$

यह परिणाम बताता है कि यदि आप 5 छात्रों के कई अलग-अलग नमूने लेते हैं, तो नमूना माध्य, औसतन, सही जनसंख्या माध्य ऊंचाई से लगभग 3.54 सेमी तक भिन्न होगा.

सांख्यिकी में स्टैंडर्ड एरर का महत्व

स्टैंडर्ड एरर सांख्यिकीय अनुमान में मौलिक है क्योंकि यह हमें इसकी अनुमति देता है:

• कॉन्फिडेंस इंटरवल का निर्माण: कॉन्फिडेंस इंटरवल मूल्यों की एक श्रेणी है जिसके भीतर हम यथोचित रूप से आश्वस्त हैं कि सही जनसंख्या पैरामीटर स्थित है. SEM का उपयोग कॉन्फिडेंस इंटरवल के लिए त्रुटि के मार्जिन की गणना करने के लिए किया जाता है. एक छोटा SEM एक संकीर्ण और अधिक सटीक कॉन्फिडेंस इंटरवल की ओर ले जाता है.
• हाइपोथीसिस टेस्टिंग करें: हाइपोथीसिस टेस्टिंग में, हम जनसंख्या के बारे में अनुमान लगाने के लिए नमूना डेटा का उपयोग करते हैं. SEM का उपयोग टेस्ट आँकड़ों (जैसे टी-सांख्यिकी) की गणना के लिए किया जाता है जिनका उपयोग तब पी-वैल्यू निर्धारित करने के लिए किया जाता है. पी-वैल्यू शून्य हाइपोथीसिस के खिलाफ सबूत की ताकत को इंगित करता है. एक छोटा SEM आम तौर पर एक छोटे पी-वैल्यू की ओर ले जाता है, जिससे शून्य हाइपोथीसिस को अस्वीकार करने की अधिक संभावना होती है.
• अनुमानों की परिशुद्धता का मूल्यांकन करें: SEM सीधे एक नमूने से जनसंख्या पैरामीटर (जैसे माध्य) का अनुमान लगाने से जुड़ी अनिश्चितता को निर्धारित करता है. एक छोटा SEM अधिक सटीक अनुमान इंगित करता है.
• समूहों की तुलना करें: दो या दो से अधिक समूहों के माध्य की तुलना करते समय, यह निर्धारित करने के लिए स्टैंडर्ड एरर का उपयोग किया जाता है कि देखे गए अंतर सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण हैं या केवल यादृच्छिक अवसर के कारण हैं.

उदाहरण: कल्पना कीजिए कि हम एक नए गणित शिक्षण कार्यक्रम की प्रभावशीलता का मूल्यांकन कर रहे हैं. हम छात्रों के एक नमूने को एक प्री-टेस्ट और एक पोस्ट-टेस्ट देते हैं. मान लीजिए कि प्री-टेस्ट से पोस्ट-टेस्ट तक औसत स्कोर में 10 अंकों की वृद्धि होती है, और SEM 2 अंक है. यह बताता है कि कार्यक्रम का उपयोग करने वाले सभी छात्रों के लिए सही औसत वृद्धि 10 अंकों के करीब होने की संभावना है, और हम एक कॉन्फिडेंस इंटरवल के साथ अनिश्चितता को निर्धारित कर सकते हैं. यदि किसी अन्य कार्यक्रम में 12 अंकों की औसत वृद्धि है, लेकिन 5 अंकों का SEM है, तो हम औसत वृद्धि में 2 अंकों के अंतर को सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है या नहीं, यह तय करने के लिए SEM के आधार पर सांख्यिकीय परीक्षणों का उपयोग कर सकते हैं.

स्टैंडर्ड एरर कैलकुलेशन कैसे करें

स्टेप बाई स्टेप गाइड

यहाँ माध्य के स्टैंडर्ड एरर (SEM) की गणना करने के लिए एक चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका दी गई है:

1. अपना नमूना डेटा एकत्र करें: अपने नमूने से डेटा एकत्र करें. सुनिश्चित करें कि आपका नमूना यादृच्छिक है और उस जनसंख्या का प्रतिनिधि है जिसका आप अध्ययन कर रहे हैं.

उदाहरण: आप यह पता लगाना चाहते हैं कि छात्रों को एक पहेली को हल करने में कितना औसत समय लगता है. आप यादृच्छिक रूप से 10 छात्रों का चयन करते हैं और उनके समय (सेकंड में) रिकॉर्ड करते हैं: 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 32, 35, 40. 2. नमूना माध्य की गणना करें: अपने नमूना डेटा का औसत ज्ञात करें. सभी मानों को जोड़ें और नमूना आकार (n) से विभाजित करें.

उदाहरण: पहेली-सुलझाने के समय का योग 275 सेकंड है. नमूना आकार 10 है.

नमूना माध्य = 275/10 = 27.5 सेकंड.

3. नमूना मानक विचलन की गणना करें: यह आपके नमूने के भीतर डेटा के प्रसार या फैलाव को मापता है. ए. प्रत्येक डेटा बिंदु और नमूना माध्य के बीच अंतर ज्ञात करें. बी. इन अंतरों में से प्रत्येक का वर्ग करें. सी. वर्गाकार अंतरों का योग करें. डी. योग को (n-1) से विभाजित करें, जहाँ n नमूना आकार है. यह आपको नमूना भिन्नता देता है. इ. नमूना मानक विचलन प्राप्त करने के लिए नमूना भिन्नता का वर्गमूल लें.

उदाहरण:

समय (सेकंड)	माध्य से विचलन (27.5)	वर्गाकार विचलन
15	-12.5	156.25
18	-9.5	90.25
20	-7.5	56.25
22	-5.5	30.25
25	-2.5	6.25
28	0.5	0.25
30	2.5	6.25
32	4.5	20.25
35	7.5	56.25
40	12.5	156.25
वर्गाकार विचलन का योग = 578.75
नमूना भिन्नता = 578.75 / (10-1) = 578.75 / 9 ≈ 64.31
नमूना मानक विचलन = √64.31 ≈ 8.02 सेकंड

4. मीन के स्टैंडर्ड एरर (SEM) की गणना करें: नमूना मानक विचलन को नमूना आकार के वर्गमूल से विभाजित करें.

$$SEM = \frac{s}{\sqrt{n}}$$

उदाहरण: SEM = 8.02 / √10 ≈ 8.02 / 3.16 ≈ 2.54 सेकंड

इसलिए, पहेली-सुलझाने के समय के लिए माध्य का स्टैंडर्ड एरर लगभग 2.54 सेकंड है.

बचने योग्य सामान्य गलतियाँ

• स्टैंडर्ड एरर को स्टैंडर्ड डेविएशन से भ्रमित करना: स्टैंडर्ड डेविएशन एक एकल नमूने के भीतर डेटा के प्रसार को मापता है, जबकि स्टैंडर्ड एरर उसी जनसंख्या से कई नमूनों में नमूना माध्य की परिवर्तनशीलता का अनुमान लगाता है. जब आपको स्टैंडर्ड एरर की आवश्यकता हो तो स्टैंडर्ड डेविएशन सूत्र का उपयोग न करें.
• जनसंख्या मानक विचलन का उपयोग करना जब नमूना मानक विचलन की आवश्यकता होती है: यदि आप जनसंख्या मानक विचलन को नहीं जानते हैं, तो आपको स्टैंडर्ड एरर का अनुमान लगाने के लिए नमूना मानक विचलन का उपयोग करना होगा. जनसंख्या मानक विचलन व्यवहार में शायद ही कभी ज्ञात होता है.
• गलत तरीके से स्टैंडर्ड डेविएशन की गणना करना: सुनिश्चित करें कि आप स्टैंडर्ड डेविएशन की गणना के लिए सही चरणों का पालन करते हैं, जिसमें अंतरों को वर्गाकार करना, उन्हें जोड़ना, नमूना मानक विचलन के लिए (n-1) से विभाजित करना और वर्गमूल लेना शामिल है.
• गलत नमूना आकार का उपयोग करना: दोबारा जांच लें कि आप SEM सूत्र में सही नमूना आकार (n) का उपयोग कर रहे हैं. यह आपके नमूने में डेटा बिंदुओं की संख्या है.
• n का वर्गमूल लेना भूल जाना: एक आम गलती स्टैंडर्ड डेविएशन को n से विभाजित करना है, n के वर्गमूल के बजाय. सुनिश्चित करें कि आप भाजक में √n का उपयोग करें.
• जाँच किए बिना सामान्यता मान लेना: स्टैंडर्ड एरर सबसे उपयोगी है जब नमूना माध्य लगभग सामान्य रूप से वितरित होते हैं. यह अक्सर सच होता है जब नमूना आकार बड़ा होता है (जैसे, n > 30) केंद्रीय सीमा प्रमेय के कारण. यदि नमूना आकार छोटा है और डेटा सामान्य रूप से वितरित नहीं किया गया है, तो स्टैंडर्ड एरर एक विश्वसनीय माप नहीं हो सकता है.

वास्तविक दुनिया में स्टैंडर्ड एरर कैलकुलेशन

अनुसंधान और डेटा विश्लेषण में अनुप्रयोग

स्टैंडर्ड एरर अनुसंधान और डेटा विश्लेषण के लिए विभिन्न क्षेत्रों में एक महत्वपूर्ण उपकरण है:

• शिक्षा अनुसंधान: विभिन्न शिक्षण विधियों की तुलना करते समय, शोधकर्ता यह निर्धारित करने के लिए स्टैंडर्ड एरर का उपयोग करते हैं कि छात्र प्रदर्शन में देखे गए अंतर सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण हैं या नहीं. उदाहरण के लिए, भिन्न सीखने वाले छात्रों के दो समूहों पर विचार करें, एक विधि ए और दूसरा विधि बी का उपयोग कर रहा है. एक परीक्षा के बाद, विधि ए के लिए औसत स्कोर 75 और विधि बी के लिए औसत स्कोर 80 है. स्टैंडर्ड एरर शोधकर्ताओं को यह निर्धारित करने में मदद करता है कि 5-अंकों का अंतर शिक्षण विधि का वास्तविक प्रभाव है या सिर्फ यादृच्छिक अवसर के कारण है.

• मनोविज्ञान: हस्तक्षेपों के प्रभावों की जांच करने वाले अध्ययनों में, स्टैंडर्ड एरर शोधकर्ताओं को उनके निष्कर्षों की विश्वसनीयता का मूल्यांकन करने में मदद करता है. यदि एक अध्ययन का उद्देश्य चिंता के स्तर को कम करने पर एक नई चिकित्सा तकनीक के प्रभाव का परीक्षण करना है. स्टैंडर्ड एरर उन्हें यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि चिंता में देखी गई कमी सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है और न कि केवल यादृच्छिक भिन्नता.

• बाजार अनुसंधान: स्टैंडर्ड एरर का उपयोग सर्वेक्षण परिणामों और बाजार के रुझानों की सटीकता का आकलन करने के लिए किया जाता है. उदाहरण के लिए, एक कंपनी उत्पाद ए को उत्पाद बी से अधिक पसंद करने वाले ग्राहकों के प्रतिशत का अनुमान लगाने के लिए एक सर्वेक्षण करती है. स्टैंडर्ड एरर नमूना परिवर्तनशीलता के कारण इस अनुमान में अनिश्चितता को निर्धारित करने में मदद करता है.

• चिकित्सा अनुसंधान: नैदानिक परीक्षणों में, स्टैंडर्ड एरर शोधकर्ताओं को नए उपचारों और दवाओं की प्रभावशीलता का मूल्यांकन करने में मदद करता है. उदाहरण के लिए, रक्तचाप को कम करने के लिए एक नई दवा का परीक्षण करते समय, स्टैंडर्ड एरर यह निर्धारित करने में मदद करता है कि क्या प्लेसीबो समूह की तुलना में रक्तचाप में देखी गई कमी सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है.

केस स्टडीज और उदाहरण

केस स्टडी 1: एक नए गणित पाठ्यक्रम का मूल्यांकन करना

एक स्कूल जिला एक नए गणित पाठ्यक्रम की प्रभावशीलता का मूल्यांकन करना चाहता है. वे यादृच्छिक रूप से 50 छात्रों को नए पाठ्यक्रम का उपयोग करने और अन्य 50 छात्रों को पुराने पाठ्यक्रम के साथ जारी रखने के लिए असाइन करते हैं. वर्ष के अंत में, दोनों समूह एक ही मानकीकृत गणित परीक्षा देते हैं.

• नया पाठ्यक्रम समूह: औसत स्कोर = 82, मानक विचलन = 8
• पुराना पाठ्यक्रम समूह: औसत स्कोर = 78, मानक विचलन = 10

प्रत्येक समूह के लिए SEM की गणना करें:

• नया पाठ्यक्रम SEM = 8 / √50 ≈ 1.13
• पुराना पाठ्यक्रम SEM = 10 / √50 ≈ 1.41

स्टैंडर्ड एरर बताते हैं कि नए पाठ्यक्रम समूह के लिए नमूना माध्य पुराने पाठ्यक्रम समूह की तुलना में जनसंख्या माध्य का अधिक सटीक अनुमान है, इसके छोटे SEM के कारण. इन SEM मूल्यों का उपयोग करने वाले सांख्यिकीय परीक्षण (जैसे टी-टेस्ट) यह निर्धारित करने में मदद कर सकते हैं कि औसत स्कोर में 4-अंकों का अंतर सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है या नहीं.

केस स्टडी 2: दो पहेली कठिनाई स्तरों की तुलना करना

एक शोधकर्ता पहेली कठिनाई का पूर्णता समय पर प्रभाव की जांच कर रहा है. उनके पास दो पहेलियाँ हैं, ए (आसान) और बी (कठिन). वे यादृच्छिक रूप से 30 प्रतिभागियों को पहेली ए को हल करने और 30 अलग-अलग प्रतिभागियों को पहेली बी को हल करने के लिए असाइन करते हैं.

• पहेली ए (आसान): औसत पूर्णता समय = 15 मिनट, मानक विचलन = 3 मिनट
• पहेली बी (कठिन): औसत पूर्णता समय = 25 मिनट, मानक विचलन = 5 मिनट

प्रत्येक पहेली के लिए SEM की गणना करें:

• पहेली ए SEM = 3 / √30 ≈ 0.55
• पहेली बी SEM = 5 / √30 ≈ 0.91

इन SEM मूल्यों का उपयोग एक हाइपोथीसिस परीक्षण में यह निर्धारित करने के लिए किया जाएगा कि क्या औसत पूर्णता समय (10 मिनट) में अंतर सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है, जो पहेली के बीच कठिनाई में वास्तविक अंतर को दर्शाता है.

स्टैंडर्ड एरर कैलकुलेशन के FAQ

स्टैंडर्ड एरर और स्टैंडर्ड डेविएशन में क्या अंतर है?

स्टैंडर्ड डेविएशन एक एकल नमूने के भीतर व्यक्तिगत डेटा बिंदुओं की परिवर्तनशीलता या फैलाव की मात्रा को मापता है. यह आपको बताता है कि डेटा नमूना माध्य के आसपास कितना फैला हुआ है.

दूसरी ओर, स्टैंडर्ड एरर, नमूना माध्य की परिवर्तनशीलता का अनुमान लगाता है यदि आप उसी जनसंख्या से कई नमूने लेते हैं. यह आपको बताता है कि नमूना माध्य जनसंख्या माध्य का कितनी सटीक रूप से अनुमान लगाता है. स्टैंडर्ड एरर मानक विचलन और नमूना आकार दोनों से प्रभावित होता है.

इसे इस तरह समझें: स्टैंडर्ड डेविएशन एक जंगल में व्यक्तिगत पेड़ों के प्रसार का वर्णन करता है, जबकि स्टैंडर्ड एरर यह वर्णन करता है कि यदि आप जंगल से कई अलग-अलग नमूना प्लॉट लेते हैं तो पेड़ों की औसत ऊंचाई कितनी भिन्न होगी.

हाइपोथीसिस टेस्टिंग में स्टैंडर्ड एरर का उपयोग कैसे किया जाता है?

हाइपोथीसिस टेस्टिंग में, स्टैंडर्ड एरर का उपयोग टेस्ट आँकड़ों की गणना के लिए किया जाता है, जैसे कि टी-सांख्यिकी या जेड-सांख्यिकी. ये टेस्ट आँकड़े मापते हैं कि नमूना सांख्यिकी (उदाहरण के लिए, नमूना माध्य) शून्य हाइपोथीसिस मूल्य से कितनी दूर तक विचलित होता है, स्टैंडर्ड एरर के संदर्भ में.

उदाहरण के लिए, दो नमूना माध्य की तुलना करने वाले टी-टेस्ट में, टी-सांख्यिकी की गणना इस प्रकार की जाती है:

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{SE_{difference}}$$

कहाँ:

• \bar{x}_1 और \bar{x}_2 दो समूहों के नमूना माध्य हैं.
• SE_{difference} दो माध्यों के बीच अंतर का स्टैंडर्ड एरर है (जिसकी गणना प्रत्येक समूह के स्टैंडर्ड एरर का उपयोग करके की जाती है).

एक बड़ा टी-सांख्यिकी (निरपेक्ष मान में) परिवर्तनशीलता के सापेक्ष नमूना माध्य के बीच एक बड़ा अंतर इंगित करता है, जिससे शून्य हाइपोथीसिस को अस्वीकार करने की अधिक संभावना होती है. परिकलित टेस्ट सांख्यिकी का उपयोग पी-वैल्यू निर्धारित करने के लिए किया जाता है, जो नमूना डेटा (या अधिक चरम डेटा) को देखने की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है यदि शून्य हाइपोथीसिस सत्य है.

क्या स्टैंडर्ड एरर ऋणात्मक हो सकता है?

नहीं, स्टैंडर्ड एरर ऋणात्मक नहीं हो सकता. स्टैंडर्ड एरर की गणना नमूना आकार के वर्गमूल से विभाजित मानक विचलन के रूप में की जाती है. मानक विचलन हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है (यह प्रसार का माप है), और नमूना आकार का वर्गमूल हमेशा धनात्मक होता है. इसलिए, स्टैंडर्ड एरर हमेशा एक धनात्मक मान या शून्य होता है (दुर्लभ मामले में जहाँ मानक विचलन शून्य होता है).

नमूना आकार स्टैंडर्ड एरर को कैसे प्रभावित करता है?

स्टैंडर्ड एरर नमूना आकार के वर्गमूल के विपरीत आनुपातिक है. इसका मतलब है कि जैसे-जैसे नमूना आकार बढ़ता है, स्टैंडर्ड एरर घटता जाता है. दूसरे शब्दों में, बड़े नमूने जनसंख्या माध्य के अधिक सटीक अनुमान प्रदान करते हैं.

उदाहरण के लिए, यदि आप नमूना आकार को 4 के कारक से बढ़ाते हैं, तो स्टैंडर्ड एरर 2 के कारक से कम हो जाएगा (चूंकि √4 = 2). यह विश्वसनीय परिणाम प्राप्त करने के लिए पर्याप्त रूप से बड़े नमूना आकार का उपयोग करने के महत्व पर प्रकाश डालता है.

यदि नमूना आकार 25 है और मानक विचलन 10 है, तो SEM = 10 / √25 = 10 / 5 = 2. यदि नमूना आकार बढ़ाकर 100 (4 गुना बड़ा) कर दिया जाता है और मानक विचलन 10 रहता है, तो SEM = 10 / √100 = 10 / 10 = 1 (मूल SEM का आधा).

कॉन्फिडेंस इंटरवल में स्टैंडर्ड एरर क्यों महत्वपूर्ण है?

स्टैंडर्ड एरर कॉन्फिडेंस इंटरवल के निर्माण के लिए महत्वपूर्ण है. एक कॉन्फिडेंस इंटरवल मूल्यों की एक श्रेणी प्रदान करता है जिसके भीतर सच्चे जनसंख्या पैरामीटर के एक निश्चित स्तर के आत्मविश्वास (उदाहरण के लिए, 95% आत्मविश्वास) के साथ स्थित होने की संभावना है.

कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना आमतौर पर इस प्रकार की जाती है:

$$Confidence Interval = Sample Mean ± (Critical Value * Standard Error)$$

महत्वपूर्ण मान वांछित स्तर के आत्मविश्वास पर निर्भर करता है (उदाहरण के लिए, 95% कॉन्फिडेंस इंटरवल और एक बड़े नमूना आकार के लिए, महत्वपूर्ण मान लगभग 1.96 है).

एक छोटा स्टैंडर्ड एरर एक संकीर्ण कॉन्फिडेंस इंटरवल की ओर ले जाता है, जो जनसंख्या पैरामीटर के अधिक सटीक अनुमान को इंगित करता है. एक बड़ा स्टैंडर्ड एरर एक व्यापक कॉन्फिडेंस इंटरवल की ओर ले जाता है, जो अधिक अनिश्चितता को इंगित करता है. उदाहरण के लिए, यदि नमूना माध्य 50 है और स्टैंडर्ड एरर 2 है, तो 95% कॉन्फिडेंस इंटरवल लगभग 50 ± (1.96 * 2) = 50 ± 3.92, या (46.08, 53.92) होगा. यदि स्टैंडर्ड एरर बड़ा होता, तो मान लीजिए 5, 95% कॉन्फिडेंस इंटरवल लगभग 50 ± (1.96 * 5) = 50 ± 9.8, या (40.2, 59.8) होगा, जो एक व्यापक, कम सटीक इंटरवल है.