Mathos AI | ज्यामितीय अनुक्रम कैलकुलेटर

ज्यामितीय अनुक्रम गणना की मूल अवधारणा

ज्यामितीय अनुक्रम गणना क्या है?

ज्यामितीय अनुक्रम गणना में ऐसे अनुक्रमों के साथ काम करना शामिल है जहां प्रत्येक पद पिछले पद को एक स्थिर मान से गुणा करके पाया जाता है. इस स्थिर मान को सार्व अनुपात कहा जाता है. ज्यामितीय अनुक्रमों को समझना घातीय वृद्धि और क्षय जैसी अवधारणाओं को समझने के लिए महत्वपूर्ण है, जो अध्ययन के कई क्षेत्रों में दिखाई देते हैं. अंकगणितीय अनुक्रमों के विपरीत, जिनमें एक स्थिर अंतर जोड़ना शामिल होता है, ज्यामितीय अनुक्रमों में गुणा शामिल होता है.

• परिभाषा: एक अनुक्रम जहां लगातार पदों के बीच का अनुपात स्थिर होता है.
• उदाहरण: 1, 3, 9, 27, 81... (सार्व अनुपात = 3)
• अंकगणितीय अनुक्रमों के साथ तुलना: अंकगणितीय अनुक्रम एक स्थिर राशि जोड़ते हैं (जैसे, 1, 5, 9, 13...), जबकि ज्यामितीय अनुक्रम एक स्थिर राशि से गुणा करते हैं.

सार्व अनुपात को समझना

सार्व अनुपात एक ज्यामितीय अनुक्रम का आधारशिला है. यह वह स्थिर कारक है जिससे आप एक पद को गुणा करके अगला पद प्राप्त करते हैं.

• परिभाषा: एक ज्यामितीय अनुक्रम में लगातार पदों के बीच स्थिर कारक.
• गणना: सार्व अनुपात ज्ञात करने के लिए किसी भी पद को उसके पिछले पद से विभाजित करें.

उदाहरण: अनुक्रम 2, 4, 8, 16... में, सार्व अनुपात 4/2 = 2 है.

• यदि सार्व अनुपात 1 से अधिक है, तो अनुक्रम तेजी से बढ़ता है.
• यदि सार्व अनुपात 0 और 1 के बीच है, तो अनुक्रम तेजी से घटता है.
• यदि सार्व अनुपात ऋणात्मक है, तो पद चिह्न में बदलते हैं.

ज्यामितीय अनुक्रम गणना कैसे करें

चरण दर चरण मार्गदर्शिका

1. पहचानें कि अनुक्रम ज्यामितीय है या नहीं: जांचें कि क्या लगातार पदों के बीच एक स्थिर अनुपात है.
2. पहले पद (a) और सार्व अनुपात (r) का निर्धारण करें: पहला पद अनुक्रम में पहला नंबर है. सार्व अनुपात किसी भी पद को उसके पिछले पद से विभाजित करके पाया जाता है.
3. उपयुक्त सूत्र चुनें: आपको क्या खोजने की आवश्यकता है (nवां पद, पदों का योग, आदि) के आधार पर, सही सूत्र का चयन करें.
4. मानों को प्रतिस्थापित करें: a, r और n (यदि आवश्यक हो) के मानों को सूत्र में प्लग इन करें.
5. परिणाम की गणना करें: वांछित मान ज्ञात करने के लिए गणना करें.
6. अपने उत्तर को सत्यापित करें: क्या आपका उत्तर समस्या के संदर्भ में समझ में आता है?

ज्यामितीय अनुक्रम गणना के उदाहरण

उदाहरण 1: nवां पद ज्ञात करना

समस्या: ज्यामितीय अनुक्रम 4, 8, 16, 32... का 7वां पद ज्ञात कीजिए.

1. ज्यामितीय? हां, प्रत्येक पद को 2 से गुणा करके अगला पद प्राप्त किया जाता है.
2. a और r: a = 4, r = 8/4 = 2
3. सूत्र: nवां पद द्वारा दिया गया है:

$$a_n = a * r^(n-1)$$

4. प्रतिस्थापन: हम 7वां पद चाहते हैं, इसलिए n = 7. इसलिए,

$$a_7 = 4 * 2^(7-1) = 4 * 2^6$$

5. गणना:

$$a_7 = 4 * 64 = 256$$

7वां पद 256 है. 6. सत्यापन: अनुक्रम 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 जारी रहता है. सही लगता है!

उदाहरण 2: पहले n पदों का योग ज्ञात करना

समस्या: ज्यामितीय अनुक्रम 1, 2, 4, 8, 16... के पहले 5 पदों का योग ज्ञात कीजिए.

1. ज्यामितीय? हां, प्रत्येक पद को 2 से गुणा किया जाता है.
2. a और r: a = 1, r = 2/1 = 2
3. सूत्र: पहले n पदों का योग द्वारा दिया गया है:

$$S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)$$

4. प्रतिस्थापन: हम पहले 5 पदों का योग चाहते हैं, इसलिए n = 5. इसलिए,

$$S_5 = 1 * (1 - 2^5) / (1 - 2)$$

5. गणना:

$$S_5 = 1 * (1 - 32) / (-1) = 1 * (-31) / (-1) = 31$$

पहले 5 पदों का योग 31 है. 6. सत्यापन: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. सही लगता है!

उदाहरण 3: सार्व अनुपात ज्ञात करना

समस्या: एक ज्यामितीय अनुक्रम का पहला पद 5 है और तीसरा पद 20 है. सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए.

1. ज्यामितीय? हमें बताया गया है कि यह एक ज्यामितीय अनुक्रम है.
2. a और a_n: a = 5, a_3 = 20
3. सूत्र:

$$r = (a_n / a)^(1/(n-1))$$

4. प्रतिस्थापन:

$$r = (20/5)^(1/(3-1)) = (4)^(1/2)$$

5. गणना:

$$r = 2$$

सार्व अनुपात 2 है. ध्यान दें कि -2 भी एक मान्य अनुपात है, क्योंकि तीसरा पद धनात्मक है, या तो r = 2 या r = -2 शर्त को पूरा करेगा. 6. सत्यापन: 5 * 2 = 10, 10 * 2 = 20. यह काम करता है.

उदाहरण 4:

एक ज्यामितीय अनुक्रम का पहला पद 3 है, और सार्व अनुपात 2 है. अनुक्रम का 6वां पद क्या है? साथ ही, अनुक्रम के पहले 6 पदों का योग क्या है?

6वां पद ज्ञात करना:

• सूत्र: एक ज्यामितीय अनुक्रम का nवां पद (a_n) द्वारा दिया गया है:

$$a_n = a_1 * r^(n-1)$$

जहां a_1 पहला पद है, r सार्व अनुपात है, और n पद संख्या है.

• अनुप्रयोग: इस मामले में, a_1 = 3, r = 2, और n = 6. इसलिए, 6वां पद (a_6) है:

$$a_6 = 3 * 2^(6-1) = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96$$

इसलिए, अनुक्रम का 6वां पद 96 है.

पहले 6 पदों का योग ज्ञात करना:

• सूत्र: एक ज्यामितीय अनुक्रम के पहले n पदों का योग (S_n) द्वारा दिया गया है:

$$S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)$$

जहां a_1 पहला पद है, r सार्व अनुपात है, और n पदों की संख्या है.

• अनुप्रयोग: इस मामले में, a_1 = 3, r = 2, और n = 6. इसलिए, पहले 6 पदों का योग (S_6) है:

$$S_6 = 3 * (1 - 2^6) / (1 - 2) = 3 * (1 - 64) / (-1) = 3 * (-63) / (-1) = 3 * 63 = 189$$

इसलिए, अनुक्रम के पहले 6 पदों का योग 189 है.

इसलिए, 6वां पद 96 है, और पहले 6 पदों का योग 189 है.

वास्तविक दुनिया में ज्यामितीय अनुक्रम गणना

ज्यामितीय अनुक्रम कई वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में दिखाई देते हैं, अक्सर घातीय वृद्धि या क्षय से निपटते हैं.

वित्त में अनुप्रयोग

• चक्रवृद्धि ब्याज: चक्रवृद्धि ब्याज के साथ अर्जित धन की राशि एक ज्यामितीय अनुक्रम का अनुसरण करती है. प्रत्येक वर्ष, शेष राशि को (1 + ब्याज दर) से गुणा किया जाता है. उदाहरण: यदि आप एक खाते में 100 जमा करते हैं जो सालाना 5% चक्रवृद्धि ब्याज का भुगतान करता है, तो पहले कुछ वर्षों के लिए शेष राशि a = 100 और r = 1.05 के साथ एक ज्यामितीय अनुक्रम का अनुसरण करती है: 100, 105, 110.25, ...
• मूल्यह्रास: एक संपत्ति का मूल्य जो प्रत्येक वर्ष एक स्थिर प्रतिशत से घटता है, वह भी एक ज्यामितीय अनुक्रम बनाता है. उदाहरण: यदि एक कार की कीमत 20000 है और प्रत्येक वर्ष 10% घट जाती है, तो प्रत्येक वर्ष इसका मूल्य a = 20000 और r = 0.9 के साथ एक ज्यामितीय अनुक्रम का अनुसरण करता है: 20000, 18000, 16200, ...

विज्ञान और इंजीनियरिंग में अनुप्रयोग

• जनसंख्या वृद्धि: आदर्श परिस्थितियों में, जनसंख्या वृद्धि को ज्यामितीय अनुक्रम का उपयोग करके मॉडलिंग किया जा सकता है. उदाहरण: यदि बैक्टीरिया की आबादी हर घंटे दोगुनी हो जाती है, तो प्रत्येक घंटे जनसंख्या का आकार r = 2 के साथ एक ज्यामितीय अनुक्रम का अनुसरण करता है.
• रेडियोधर्मी क्षय: प्रत्येक अर्ध-जीवन के बाद शेष रेडियोधर्मी पदार्थ की मात्रा ज्यामितीय तरीके से घटती है. उदाहरण: यदि एक रेडियोधर्मी पदार्थ का आधा जीवन 1 वर्ष है, तो प्रत्येक वर्ष शेष राशि r = 0.5 के साथ एक ज्यामितीय अनुक्रम का अनुसरण करती है.
• फ्रैक्टल्स: फ्रैक्टल्स का निर्माण अक्सर ज्यामितीय अनुक्रमों पर निर्भर करता है.
• कंप्यूटर विज्ञान: कुछ एल्गोरिदम की समय जटिलता का विश्लेषण करने में ज्यामितीय प्रगति शामिल है.
• भौतिकी: दोलनों और अवमंदित दोलनों को ज्यामितीय अनुक्रमों का उपयोग करके मॉडलिंग किया जा सकता है.

ज्यामितीय अनुक्रम गणना के अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

ज्यामितीय अनुक्रम गणना के लिए सूत्र क्या है?

ज्यामितीय अनुक्रमों के लिए कई प्रमुख सूत्र हैं:

• nवां पद:

$$a_n = a * r^(n-1)$$

जहां a पहला पद है, r सार्व अनुपात है, और n पद संख्या है.

• पहले n पदों का योग (r ≠ 1):

$$S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)$$

जहां a पहला पद है, r सार्व अनुपात है, और n पदों की संख्या है.

• पहले n पदों का योग (r = 1):

$$S_n = n * a$$

• अनंत तक योग (|r| < 1):

$$S_∞ = a / (1 - r)$$

जहां a पहला पद है, और r सार्व अनुपात है. यह सूत्र केवल तभी काम करता है जब सार्व अनुपात का निरपेक्ष मान 1 से कम हो.

आप एक ज्यामितीय अनुक्रम में nवां पद कैसे ज्ञात करते हैं?

nवां पद ज्ञात करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें:

$$a_n = a * r^(n-1)$$

जहां:

• a_n nवां पद है
• a अनुक्रम का पहला पद है
• r सार्व अनुपात है
• n वह पद है जिसे आप ज्ञात करना चाहते हैं

उदाहरण: अनुक्रम 2, 6, 18,... का 5वां पद ज्ञात कीजिए a = 2, r = 3, n = 5

$$a_5 = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162$$

तो, 5वां पद 162 है.

क्या एक ज्यामितीय अनुक्रम का सार्व अनुपात 1 हो सकता है?

हां, एक ज्यामितीय अनुक्रम का सार्व अनुपात 1 हो सकता है. इस मामले में, अनुक्रम में सभी पद समान होंगे.

उदाहरण: यदि पहला पद 5 है और सार्व अनुपात 1 है, तो अनुक्रम 5, 5, 5, 5... होगा.

r = 1 होने पर पहले n पदों का योग केवल n*a होता है.

ज्यामितीय अनुक्रम गणना अंकगणितीय अनुक्रम गणना से कैसे भिन्न है?

मुख्य अंतर यह है कि पद कैसे उत्पन्न होते हैं:

• ज्यामितीय अनुक्रम: प्रत्येक पद पिछले पद को एक स्थिर अनुपात से गुणा करके पाया जाता है.
• अंकगणितीय अनुक्रम: प्रत्येक पद पिछले पद में एक स्थिर अंतर जोड़कर पाया जाता है.

सूत्र भी अलग हैं:

• ज्यामितीय nवां पद:

$$a_n = a * r^(n-1)$$

• अंकगणितीय nवां पद:

$$a_n = a + (n-1) * d$$

जहां d सार्व अंतर है.

• ज्यामितीय योग:

$$S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)$$

• अंकगणितीय योग:

$$S_n = n/2 * [2a + (n-1)d]$$

ज्यामितीय अनुक्रम गणना में कुछ सामान्य गलतियाँ क्या हैं?

• ज्यामितीय और अंकगणितीय अनुक्रमों को भ्रमित करना: हमेशा दोबारा जांचें कि क्या अनुक्रम में गुणा (ज्यामितीय) या जोड़ (अंकगणितीय) शामिल है.
• सार्व अनुपात की गलत गणना करना: सुनिश्चित करें कि आप एक पद को उसके पिछले पद से विभाजित करते हैं.
• गलत सूत्र का उपयोग करना: केवल ज्यामितीय अनुक्रमों के लिए ज्यामितीय अनुक्रम सूत्रों का उपयोग करें.
• अनंत तक योग के लिए |r| < 1 शर्त को अनदेखा करना: अनंत तक योग सूत्र केवल तभी काम करता है जब सार्व अनुपात का निरपेक्ष मान 1 से कम हो. यदि |r| >= 1, तो अनुक्रम भिन्न होता है, और योग अनंत होता है.
• अंकगणितीय त्रुटियाँ: सरल गलतियों से बचने के लिए सभी गणनाओं को दोबारा जांचें.
• संचालन के क्रम को भूल जाना: गुणा से पहले घातांक को लागू करना याद रखें.