Mathos AI | Inverse Function Calculator - Find Inverse Functions Instantly

Introduction

क्या आप इनवर्स फंक्शन्स के सिद्धांत को चुनौतीपूर्ण पा रहे हैं? आप अकेले नहीं हैं! इनवर्स फंक्शन्स गणित में एक मौलिक विषय हैं, विशेष रूप से बीजगणित और कलन में। वे हमें एक फंक्शन के कार्य को "पूर्ववत" करने की अनुमति देते हैं, जो समीकरणों को हल करने और गणितीय संबंधों को समझने में आवश्यक है। यह गाइड इनवर्स फंक्शन्स को समझना आसान बनाने का लक्ष्य रखती है, भले ही आप अपनी गणितीय यात्रा की शुरुआत कर रहे हों।

इस व्यापक गाइड में, हम निम्नलिखित विषयों का अन्वेषण करेंगे:

• इनवर्स फंक्शन क्या है?
• एक फंक्शन का इनवर्स कैसे खोजें
• इनवर्स फंक्शन्स का ग्राफ
• इनवर्स त्रिकोणमितीय फंक्शन्स
• इनवर्स फंक्शन्स के अवकलन
• इनवर्स त्रिकोणमितीय फंक्शन्स के समाकलन
• Mathos AI इनवर्स फंक्शन कैलकुलेटर का उपयोग करना
• निष्कर्ष
• अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

इस गाइड के अंत तक, आपके पास इनवर्स फंक्शन्स की एक ठोस समझ होगी और आप उनके साथ आत्मविश्वास से काम कर सकेंगे।

What Is an Inverse Function?

Understanding the Basics

एक इनवर्स फंक्शन मूल फंक्शन के प्रभाव को मूल रूप से उलट देता है। कल्पना करें कि एक फंक्शन $f$ है जो एक इनपुट $x$ को एक आउटपुट $y$ में मैप करता है :

$$y=f(x)$$

इनवर्स फंक्शन, जिसे $f^{-1}$ के रूप में दर्शाया जाता है, $y$ को फिर से $x$ में मैप करता है :

$$x=f^{-1}(y)$$

दूसरे शब्दों में, फंक्शन को लागू करना और फिर इसके इनवर्स को लागू करना आपको आपके प्रारंभिक बिंदु पर वापस लाता है:

$$f^{-1}(f(x))=x \quad \text { और } \quad f\left(f^{-1}(x)\right)=x$$

मुख्य बिंदु:

• नोटेशन: $f$ का इनवर्स $f^{-1}$ के रूप में लिखा जाता है। यह rac{1}{f} के समान नहीं है।
• एक-से-एक फंक्शन्स: एक फंक्शन का इनवर्स होने के लिए उसे बायजेक्टिव (दोनों इंजेक्टिव और सर्जेक्टिव) होना चाहिए। इसका मतलब है कि यह हॉरिजेंटल लाइन टेस्ट पास करता है, यह सुनिश्चित करते हुए कि प्रत्येक आउटपुट के साथ ठीक एक इनपुट जोड़ा गया है।
• ग्राफिकल संबंध: एक इनवर्स फंक्शन का ग्राफ मूल फंक्शन का $y=x$ रेखा के पार परावर्तन है।

वास्तविक दुनिया का उपमा

एक फ़ंक्शन को एक मशीन के रूप में सोचें जो इनपुट को आउटपुट में प्रोसेस करती है। यदि आप मशीन में एक संख्या डालते हैं, तो यह आपको एक आउटपुट देती है। इनवर्स फ़ंक्शन मशीन को उल्टा चलाने के समान है, आउटपुट को लेकर मूल इनपुट पर लौटना।

उदाहरण:

मान लीजिए आपके पास एक फ़ंक्शन है जो किसी भी संख्या में 5 जोड़ता है:

$$f(x)=x+5$$

इनवर्स फ़ंक्शन 5 घटाता है ताकि मूल संख्या पर वापस आ सके:

$$f^{-1}(x)=x-5$$

फ़ंक्शन का इनवर्स कैसे खोजें

फ़ंक्शन का इनवर्स खोजने में मूल फ़ंक्शन के ऑपरेशनों को उलटने की प्रक्रिया शामिल होती है। यहाँ एक चरण-दर-चरण गाइड है जो आपको प्रक्रिया को समझने में मदद करेगी।

चरण-दर-चरण गाइड

1. $f(x)$ को $y$ से बदलें :

   यह कदम समीकरण के साथ काम करना आसान बनाता है।

$$y=f(x)$$

2. $x$ और $y$ को स्विच करें :

   यह इनपुट और आउटपुट को स्वैप करने के विचार को दर्शाता है।

$$x=f(y)$$

3. $y$ के लिए हल करें :

   समीकरण को इस तरह से व्यवस्थित करें कि $y$ को $x$ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सके।

4. $y$ को $f^{-1}(x)$ से बदलें :

   यह दर्शाता है कि आपने इनवर्स फ़ंक्शन खोज लिया है।

$$f^{-1}(x)=\text { $x$ के संदर्भ में अभिव्यक्ति }$$

उदाहरण 1: रैखिक फ़ंक्शन का इनवर्स खोजना

समस्या:

फ़ंक्शन $f(x)=2 x+3$ का इनवर्स खोजें।

समाधान:

चरण 1: $f(x)$ को $y$ से बदलें।

$$y=2 x+3$$

चरण 2: $x$ और $y$ को स्विच करें।

$$x=2 y+3$$

व्याख्या:

$x$ और $y$ को स्विच करके, हम प्रभावी रूप से इनपुट और आउटपुट की भूमिकाओं को स्वैप कर रहे हैं, जो इनवर्स खोजने का सार है।

चरण 3: $y$ के लिए हल करें।

दोनों पक्षों से 3 घटाएं:

$$x-3=2 y$$

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें :

$$y=\frac{x-3}{2}$$

चरण 4: $y$ को $f^{-1}(x)$ से बदलें।

$$f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$$

उत्तर:

इनवर्स फ़ंक्शन है:

$$f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$$

सत्यापन:

यह सत्यापित करने के लिए कि यह वास्तव में इनवर्स है, $f$ और $f^{-1}$ को संयोजित करें :

• $f\left(f^{-1}(x)\right)=2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x-3+3=x$
• $f^{-1}(f(x))=\frac{2 x+3-3}{2}=\frac{2 x}{2}=x$

उदाहरण 2: द्विघात फ़ंक्शन का इनवर्स खोजना

समस्या:

$f(x)=x^2$ का इनवर्स खोजें, जहाँ $x \geq 0$।

समाधान:

चरण 1: $f(x)$ को $y$ से बदलें।

$$y=x^2$$

चरण 2: $x$ और $y$ को स्विच करें।

$$x=y^2$$

चरण 3: $y$ के लिए हल करें।

चूंकि $x \geq 0$, हम सकारात्मक वर्गमूल लेते हैं:

$$y=\sqrt{x}$$

चरण 4: $y$ को $f^{-1}(x)$ से बदलें।

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x}$$

उत्तर:

प्रतिवर्ती फ़ंक्शन है:

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x}$$

नोट: प्रतिबंध $x \geq 0$ सुनिश्चित करता है कि फ़ंक्शन एक-से-एक है और इसलिए इसका एक प्रतिवर्ती है।

प्रतिवर्ती फ़ंक्शनों का ग्राफ बनाना

प्रतिवर्ती फ़ंक्शनों का दृश्यांकन उनके गुणों और संबंधों की आपकी समझ को गहरा करने में मदद करता है।

ग्राफिकल संबंध

• एक प्रतिवर्ती फ़ंक्शन का ग्राफ मूल फ़ंक्शन का $y=x$ रेखा के पार परावर्तन है।
• यदि एक बिंदु $(a, b)$ $f$ के ग्राफ पर है, तो बिंदु $(b, a)$ $f^{-1}$ के ग्राफ पर है।

प्रतिवर्ती फ़ंक्शन का ग्राफ बनाने के चरण

1. मूल फ़ंक्शन $f(x)$ का ग्राफ बनाएं।

2. रेखा $y=x$ खींचें।

   यह रेखा परावर्तन के लिए एक दर्पण के रूप में कार्य करती है।

3. बिंदुओं को $y=x$ के पार परावर्तित करें।

   प्रमुख बिंदुओं के $x$ और $y$ समन्वय को स्वैप करें।

4. $f^{-1}(x)$ प्राप्त करने के लिए परावर्तित बिंदुओं को प्लॉट करें।

उदाहरण: $f(x)=2 x+3$ और इसके प्रतिवर्ती का ग्राफ बनाना

मूल फ़ंक्शन बिंदु:

• $x=-1: y=2(-1)+3=1 \Rightarrow$ बिंदु $(-1,1)$
• $x=0: y=2(0)+3=3 \Rightarrow$ बिंदु $(0,3)$
• $x=1: y=2(1)+3=5 \Rightarrow$ बिंदु $(1,5)$

प्रतिवर्ती फ़ंक्शन बिंदु:

• मूल बिंदुओं के $x$ और $y$ को स्वैप करें:
  • $(1,-1)$
  • $(3,0)$
  • $(5,1)$

ग्राफ बनाने के चरण:

• मूल फ़ंक्शन और रेखा $y=x$ को प्लॉट करें।
• प्रत्येक बिंदु को $y=x$ के पार परावर्तित करें।
• $f^{-1}(x)$ का ग्राफ बनाने के लिए परावर्तित बिंदुओं को जोड़ें।

प्रतिवर्ती त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन

प्रतिवर्ती त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन हमें एक दिए गए त्रिकोणमितीय अनुपात के लिए संबंधित कोण खोजने की अनुमति देते हैं।

प्रतिवर्ती त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को समझना

परिभाषा:

• आर्कसाइन (arcsin(x)): $ext{sin}(x)$ का प्रतिवर्ती
• आर्ककोसाइन (arccos( $x$ )): $ext{cos}(x)$ का प्रतिवर्ती
• आर्कटैन्जेंट $( ext{arctan}(x))$: $ext{tan}(x)$ का प्रतिवर्ती

संबंध:

• $y=\arcsin (x)$ का मतलब है $x=\sin (y)$
• $y=\arccos (x)$ का मतलब है $x=\cos (y)$
• $y=\arctan (x)$ का मतलब है $x=\tan (y)$

डोमेन और रेंज प्रतिबंध:

इन कार्यों को एक-से-एक सुनिश्चित करने और उनके विपरीत होने के लिए, उनके डोमेन और रेंज को प्रतिबंधित किया गया है।

• आर्कसाइन:
  • डोमेन: $-1 \leq x \leq 1$
  • रेंज: $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$
• आर्ककोसाइन:
  • डोमेन: $-1 \leq x \leq 1$
  • रेंज: $0 \leq y \leq \pi$
• आर्कटैन्जेंट:
  • डोमेन: $-\infty<x<\infty$
  • रेंज: $-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$

उदाहरण: एक विपरीत त्रिकोणमितीय कार्य का मूल्यांकन

समस्या: $y=\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ खोजें। हल:

हमें पता है कि:

$$\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

इसलिए:

$$y=\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4}$$

उत्तर:

$$y=\frac{\pi}{4}$$

व्याख्या:

आर्कसाइन कार्य उस कोण को लौटाता है जिसका साइन $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है।

विपरीत कार्यों के व्युत्पत्तियाँ

विपरीत कार्य की व्युत्पत्ति को खोजना महत्वपूर्ण है, विशेष रूप से कलन में।

व्युत्पत्ति सूत्र

यदि $f$ एक एक-से-एक विभेद्य कार्य है जिसका विपरीत $f^{-1}$ है, और $f^{\prime}$ निरंतर है, तो:

$$\left(f^{-1}\right)^{\prime}(x)=\frac{1}{f^{\prime}\left(f^{-1}(x)\right)}$$

व्याख्या:

• $\left(f^{-1}\right)^{\prime}(x)$ $x$ पर विपरीत कार्य की व्युत्पत्ति को दर्शाता है।
• $f^{\prime}\left(f^{-1}(x)\right)$ मूल कार्य की व्युत्पत्ति है जो $f^{-1}(x)$ पर मूल्यांकित है।

उदाहरण: एक विपरीत कार्य की व्युत्पत्ति खोजना

समस्या:

दी गई $f(x)=x^3+x$, $\left(f^{-1}\right)^{\prime}(2)$ खोजें।

हल:

चरण 1: $f^{-1}(2)$ खोजें।

हमें $x$ खोजना है ऐसा कि $f(x)=2$ :

$$x^3+x=2$$

यह एक घन समीकरण है, और मान लीजिए $x=1$ :

$$1^3+1=1+1=2$$

तो, $f(1)=2$, और इसलिए $f^{-1}(2)=1$।

चरण 2: $f^{\prime}(x)$ खोजें।

$$f^{\prime}(x)=3 x^2+1$$

चरण 3: $f^{\prime}\left(f^{-1}(2)\right)=f^{\prime}(1)$ का मूल्यांकन करें।

$$f^{\prime}(1)=3(1)^2+1=3+1=4$$

चरण 4: व्युत्पत्ति सूत्र का उपयोग करें।

$$\left(f^{-1}\right)^{\prime}(2)=\frac{1}{f^{\prime}\left(f^{-1}(2)\right)}=\frac{1}{4}$$

उत्तर:

$$\left(f^{-1}\right)^{\prime}(2)=\frac{1}{4}$$

अव्युत्पन्न त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पत्तियाँ

अव्युत्पन्न त्रिकोणमितीय कार्यों के विशेष व्युत्पत्ति सूत्र होते हैं जो कलन में आवश्यक होते हैं।

सामान्य व्युत्पत्ति सूत्र

1. आर्कसाइन का व्युत्पत्ति:

$$\frac{d}{d x}(\arcsin (x))=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

2. आर्ककोसाइन का व्युत्पत्ति:

$$\frac{d}{d x}(\arccos (x))=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

3. आर्कटैन्जेंट का व्युत्पत्ति:

$$\frac{d}{d x}(\arctan (x))=\frac{1}{1+x^2}$$

उदाहरण: व्युत्पत्ति खोजना

समस्या:

$\frac{d}{d x}(\arcsin (3 x))$ को खोजें।

समाधान:

चेन नियम का उपयोग करते हुए:

$$\frac{d}{d x}(\arcsin (3 x))=\frac{1}{\sqrt{1-(3 x)^2}} \cdot 3=\frac{3}{\sqrt{1-9 x^2}}$$

उत्तर:

$$\frac{d}{d x}(\arcsin (3 x))=\frac{3}{\sqrt{1-9 z^2}}$$

व्याख्या:

• $\arcsin (u)$ का व्युत्पत्ति $\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u^{\prime}$ है।
• यहाँ, $u=3 x$ और $u^{\prime}=3$।

अव्युत्पन्न त्रिकोणमितीय कार्यों के समाकल

अव्युत्पन्न त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंधित समाकल अक्सर कुछ रैखिक कार्यों को समाकलित करते समय प्रकट होते हैं।

सामान्य समाकल सूत्र

1. आर्कसाइन की ओर ले जाने वाले समाकल:

$$\int \frac{d x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)+C$$

2. आर्कटैन्जेंट की ओर ले जाने वाले समाकल:

$$\int \frac{d x}{a^2+x^2}=\frac{1}{a} \arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C$$

3. आर्कसेकेंट की ओर ले जाने वाले समाकल:

$$\int \frac{d x}{x \sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{a} \backslash \operatorname{arcsec}\left(\frac{x}{a}\right)+C$$

उदाहरण: एक समाकल का मूल्यांकन

समस्या:

$\int \frac{d x}{1+x^2}$ का मूल्यांकन करें।

समाधान:

यह समाकल आर्कटैन्जेंट कार्य की ओर ले जाने वाले मानक रूप में फिट बैठता है जिसमें $a=1$ :

$$\int \frac{d x}{1+x^2}=\arctan (x)+C$$

उत्तर:

$$\int \frac{d x}{1+x^2}=\arctan (x)+C$$

मैथोस एएल इनवर्स फंक्शन कैलकुलेटर का उपयोग करना

विपरीत कार्यों, व्युत्पत्तियों और समाकलनों की गणना करना चुनौतीपूर्ण हो सकता है। Mathos AI विपरीत कार्य कैलकुलेटर इस प्रक्रिया को सरल बनाता है, त्वरित और सटीक समाधान प्रदान करता है जिसमें विस्तृत स्पष्टीकरण शामिल हैं।

विशेषताएँ

• विपरीत कार्य खोजें: दिए गए कार्य का विपरीत आसानी से गणना करें।
• चरण-दर-चरण समाधान: विपरीत खोजने में शामिल प्रत्येक चरण को समझें।
• विभिन्न कार्यों को संभालता है: रैखिक, द्विघातीय, घातीय, लोगारिदमिक, और त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ काम करता है।
• व्युत्पत्ति और समाकलन गणनाएँ: विपरीत कार्यों को शामिल करते हुए व्युत्पत्तियों और समाकलनों की गणना करता है।
• उपयोगकर्ता-अनुकूल इंटरफ़ेस: कार्यों को इनपुट करना और परिणामों को समझना आसान है।

लाभ

• सटीकता: गणनाओं में त्रुटियों को कम करता है।
• दक्षता: समय बचाता है, विशेष रूप से जटिल कार्यों के साथ।
• सीखने का उपकरण: विस्तृत स्पष्टीकरण के माध्यम से समझ को बढ़ाता है।
• पहुंच: ऑनलाइन उपलब्ध है, इसे कहीं भी इंटरनेट एक्सेस के साथ उपयोग करें।

निष्कर्ष

विपरीत कार्य गणित में एक महत्वपूर्ण अवधारणा हैं, जो हमें कार्यों के प्रभाव को उलटने और जटिल समीकरणों को हल करने की अनुमति देती हैं। विपरीत खोजने, विपरीत त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ काम करने, और विपरीतों को शामिल करते हुए व्युत्पत्तियों और समाकलनों की गणना करने के तरीके को समझकर, आप अपने गणितीय उपकरणों को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ाते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

1. विपरीत कार्य क्या है?

विपरीत कार्य मूल कार्य के प्रभाव को उलटता है। यदि $f(x) \operatorname{maps} x$ को $y$ पर, तो $f^{-1}(x)$ $y$ को वापस $x$ पर मानचित्रित करता है।

2. मैं एक कार्य का विपरीत कैसे खोजूं?

• $f(x)$ को $y$ से बदलें।
• $x$ और $y$ को स्वैप करें।
• $y$ के लिए हल करें।
• $y$ को $f^{-1}(x)$ से बदलें।

3. विपरीत त्रिकोणमितीय कार्य क्या हैं?

विपरीत त्रिकोणमितीय कार्य (जैसे, $\arcsin (x), \arccos (x), \arctan (x)$) मूल त्रिकोणमितीय कार्यों के विपरीत होते हैं और आपको त्रिकोणमितीय अनुपात दिए जाने पर कोण खोजने की अनुमति देते हैं।

4. मैं एक विपरीत कार्य की व्युत्पत्ति कैसे खोजूं?

सूत्र का उपयोग करें:

$$\left(f^{-1}\right)^{\prime}(x)=\frac{1}{f^{\prime}\left(f^{-1}(x)\right)}$$

5. उल्टे त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्क्रम क्या हैं?

• $\frac{d}{d z}(\arcsin (x))=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\frac{d}{d z}(\arccos (x))=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\frac{d}{d z}(\arctan (x))=\frac{1}{1+x^2}$

6. मैं उल्टे कार्य का ग्राफ कैसे बना सकता हूँ?

मूल कार्य के ग्राफ को रेखा $y=x$ के पार परावर्तित करें। उल्टे को प्लॉट करने के लिए कुंजी बिंदुओं के $x$ और $y$ समन्वय को स्वैप करें।

7. उल्टे त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंधित समाकल क्या है?

एक उदाहरण है:

$$\int \frac{d x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)+C$$

8. Mathos AI उल्टे कार्य कैलकुलेटर मेरी कैसे मदद कर सकता है?

यह उल्टे कार्यों, व्युत्क्रमों, और समाकलों को खोजने के लिए त्वरित और सटीक समाधान प्रदान करता है, समझ को बढ़ाने के लिए चरण-दर-चरण व्याख्याओं के साथ।