Mathos AI | 二項分佈計算器 - 常態近似

常態近似於二項分佈計算的基本概念

什麼是常態近似於二項分佈計算？

常態近似於二項分佈是一種統計方法，用於透過使用常態分佈來估計與二項分佈相關的機率。 這種方法在處理大量試驗時特別有用，在這種情況下，二項分佈開始類似於常態分佈的鐘形曲線。 透過使用這種近似，我們可以利用常態分佈的特性和工具來簡化二項機率的計算。

為什麼使用常態近似？

使用常態近似的主要原因是簡化和便利。 直接計算二項機率在計算上可能很密集，尤其是在試驗次數很多時。 常態近似可以顯著簡化這些計算。 此外，常態分佈表和計算器廣泛可用，與計算二項係數相比，更容易找到機率。

如何進行常態近似於二項分佈計算

逐步指南

1. 識別參數：確定試驗次數 $n$ 和單次試驗成功的機率 $p$。

2. 計算平均值和標準差：

• 平均值 ($\mu$) 由下式給出：

$$\mu = n \cdot p$$

• 標準差 ($\sigma$) 計算如下：

$$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$$

3. 應用連續性校正：由於二項分佈是離散的，而常態分佈是連續的，因此請針對此差異進行調整：

• 若要近似 $P(X = k)$，請使用 $P(k - 0.5 < X < k + 0.5)$。
• 若要近似 $P(X \leq k)$，請使用 $P(X < k + 0.5)$。
• 若要近似 $P(X \geq k)$，請使用 $P(X > k - 0.5)$。
• 若要近似 $P(a \leq X \leq b)$，請使用 $P(a - 0.5 < X < b + 0.5)$。

4. 計算 Z 分數：使用以下公式將感興趣的值轉換為 Z 分數：

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

其中 $X$ 是感興趣的值。

5. 尋找機率：使用標準常態分佈表或計算器來尋找與計算出的 Z 分數相關的機率。

主要考量因素和假設

• 當 $n$ 很大且 $p$ 接近 0.5 時，常態近似最準確。
• 使用常態近似的條件是 $n \cdot p \geq 5$ 且 $n \cdot (1 - p) \geq 5$。
• 連續性校正對於提高近似的準確性至關重要。

常態近似於二項分佈計算在現實世界中的應用

實際應用

常態近似廣泛應用於品質管制、選舉民意調查和醫學測試等各個領域。 例如，在品質管制中，公司可能會使用它來估計在大批量生產中產生一定數量有缺陷產品的機率。

個案研究

1. 品質管制：一家公司生產 1000 個燈泡，缺陷率為 5%。 為了找到超過 60 個有缺陷燈泡的機率，由於 $n \cdot p = 50$ 且 $n \cdot (1 - p) = 950$，因此可以應用常態近似。

2. 選舉民意調查：民意調查員調查 500 人，以確定對實際支持率為 52% 的候選人的支持率。 常態近似有助於估計民意調查顯示支持率低於 50% 的機率。

3. 醫學測試：在一項有 200 名患者且有效率為 70% 的藥物試驗中，常態近似可以估計該藥物對至少 130 名患者有效的機率。

常態近似於二項分佈計算的常見問題

使用常態近似於二項分佈的條件是什麼？

條件是 $n \cdot p \geq 5$ 且 $n \cdot (1 - p) \geq 5$。 這些可確保二項分佈對於常態近似來說具有足夠的對稱性。

如何確定常態近似是否合適？

檢查 $n \cdot p \geq 5$ 且 $n \cdot (1 - p) \geq 5$ 是否成立。 如果滿足這些條件，則該近似是合適的。

使用常態近似有哪些限制？

對於小的 $n$ 或當 $p$ 非常接近 0 或 1 時，近似可能不準確。 如果不應用連續性校正，它也不太準確。

連續性校正如何影響常態近似？

連續性校正在使用連續常態分佈時會針對二項分佈的離散性質進行調整。 它可以提高近似的準確性。

常態近似可以用於小樣本量嗎？

通常不建議對小樣本量使用常態近似，因為它可能無法提供準確的結果。 最好在 $n$ 很大且 $p$ 不太接近 0 或 1 時使用。