Mathos AI | 等比數列計算器

等比數列計算的基本概念

什麼是等比數列計算？

等比數列計算涉及處理這樣的數列：每一項都是前一項乘以一個常數值得到的。這個常數值稱為公比。理解等比數列對於掌握指數增長和衰減等概念至關重要，這些概念出現在許多研究領域中。與等差數列（涉及加上一個常數差）不同，等比數列涉及乘法。

• Definition: 一個數列，其中連續項之間的比率是常數。
• Example: 1, 3, 9, 27, 81... (公比 = 3)
• Contrast with Arithmetic Sequences: 等差數列加上一個常數（例如，1, 5, 9, 13...），而等比數列乘以一個常數。

理解公比

公比是等比數列的基石。它是您將一項乘以得到下一項的常數因子。

• Definition: 等比數列中連續項之間的常數因子。
• Calculation: 將任何一項除以前一項即可找到公比。

Example: 在數列 2, 4, 8, 16... 中，公比是 4/2 = 2。

• 如果公比大於 1，則數列呈指數增長。
• 如果公比介於 0 和 1 之間，則數列呈指數遞減。
• 如果公比為負數，則各項的符號交替。

如何進行等比數列計算

逐步指南

1. Identify if the sequence is geometric: 檢查連續項之間是否存在恆定比率。
2. Determine the first term (a) and the common ratio (r): 第一項只是數列中的第一個數字。公比是將任何一項除以前一項得到的。
3. Choose the appropriate formula: 根據您需要找到的內容（第 n 項、項的總和等），選擇正確的公式。
4. Substitute the values: 將 a、r 和 n（如果需要）的值代入公式。
5. Calculate the result: 執行計算以找到所需的值。
6. Verify your answer: 您的答案在問題的上下文中是否有意義？

等比數列計算範例

Example 1: Finding the nth term

Problem: 找出等比數列 4, 8, 16, 32... 的第 7 項。

1. Geometric? 是的，每一項都乘以 2 得到下一項。
2. a and r: a = 4, r = 8/4 = 2
3. Formula: 第 n 項由下式給出：

$$a_n = a * r^(n-1)$$

4. Substitution: 我們想要第 7 項，所以 n = 7。 因此，

$$a_7 = 4 * 2^(7-1) = 4 * 2^6$$

5. Calculation:

$$a_7 = 4 * 64 = 256$$

第 7 項是 256。 6. Verification: 數列繼續 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256。 似乎正確！

Example 2: Finding the sum of the first n terms

Problem: 找出等比數列 1, 2, 4, 8, 16... 的前 5 項的總和。

1. Geometric? 是的，每一項都乘以 2。
2. a and r: a = 1, r = 2/1 = 2
3. Formula: 前 n 項的總和由下式給出：

$$S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)$$

4. Substitution: 我們想要前 5 項的總和，所以 n = 5。 因此，

$$S_5 = 1 * (1 - 2^5) / (1 - 2)$$

5. Calculation:

$$S_5 = 1 * (1 - 32) / (-1) = 1 * (-31) / (-1) = 31$$

前 5 項的總和是 31。 6. Verification: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31。 似乎正確！

Example 3: Finding the common ratio

Problem: 等比數列的第一項是 5，第三項是 20。求公比。

1. Geometric? 我們被告知它是一個等比數列。
2. a and a_n: a = 5, a_3 = 20
3. Formula:

$$r = (a_n / a)^(1/(n-1))$$

4. Substitution:

$$r = (20/5)^(1/(3-1)) = (4)^(1/2)$$

5. Calculation:

$$r = 2$$

公比是 2。請注意，-2 也是一個有效的比率，因為第三項是正數，r = 2 或 r = -2 都會滿足條件。 6. Verification: 5 * 2 = 10, 10 * 2 = 20。 它有效。

Example 4:

等比數列的第一項是 3，公比是 2。數列的第 6 項是什麼？ 此外，數列的前 6 項的總和是多少？

Finding the 6th term:

• Formula: 等比數列的第 n 項 (a_n) 由下式給出：

$$a_n = a_1 * r^(n-1)$$

其中 a_1 是第一項，r 是公比，n 是項數。

• Application: 在這種情況下，a_1 = 3，r = 2，n = 6。 因此，第 6 項 (a_6) 是：

$$a_6 = 3 * 2^(6-1) = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96$$

所以，數列的第 6 項是 96。

Finding the sum of the first 6 terms:

• Formula: 等比數列的前 n 項的總和 (S_n) 由下式給出：

$$S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)$$

其中 a_1 是第一項，r 是公比，n 是項數。

• Application: 在這種情況下，a_1 = 3，r = 2，n = 6。 因此，前 6 項的總和 (S_6) 是：

$$S_6 = 3 * (1 - 2^6) / (1 - 2) = 3 * (1 - 64) / (-1) = 3 * (-63) / (-1) = 3 * 63 = 189$$

所以，數列的前 6 項的總和是 189。

因此，第 6 項是 96，前 6 項的總和是 189。

等比數列計算在現實世界中的應用

等比數列出現在許多現實世界的場景中，通常涉及指數增長或衰減。

Applications in Finance

• Compound Interest: 以複利賺取的金額遵循等比數列。 每年，餘額乘以 (1 + 利率)。 Example: 如果您將 100 存入一個每年支付 5% 複利息的帳戶，則前幾年的餘額遵循一個等比數列，其中 a = 100 且 r = 1.05：100, 105, 110.25, ...
• Depreciation: 每年以固定百分比折舊的資產的價值也形成等比數列。 Example: 如果一輛汽車的成本為 20000 且每年折舊 10%，則其每年的價值遵循一個等比數列，其中 a = 20000 且 r = 0.9：20000, 18000, 16200, ...

Applications in Science and Engineering

• Population Growth: 在理想條件下，可以使用等比數列對人口增長進行建模。 Example: 如果細菌種群每小時翻一番，則每小時的種群數量遵循一個等比數列，其中 r = 2。
• Radioactive Decay: 每經過一個半衰期後剩餘的放射性物質的量以幾何方式減少。 Example: 如果一種放射性物質的半衰期為 1 年，則每年剩餘的量遵循一個等比數列，其中 r = 0.5。
• Fractals: 分形的構造通常依賴於等比數列。
• Computer Science: 分析某些算法的時間複雜度涉及幾何級數。
• Physics: 可以使用等比數列對振盪和阻尼振盪進行建模。

等比數列計算的常見問題

等比數列計算的公式是什麼？

等比數列有幾個關鍵公式：

• nth term:

$$a_n = a * r^(n-1)$$

其中 a 是第一項，r 是公比，n 是項數。

• Sum of the first n terms (r ≠ 1):

$$S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)$$

其中 a 是第一項，r 是公比，n 是項數。

• Sum of the first n terms (r = 1):

$$S_n = n * a$$

• Sum to infinity (|r| < 1):

$$S_∞ = a / (1 - r)$$

其中 a 是第一項，r 是公比。 只有當公比的絕對值小於 1 時，此公式才有效。

如何在等比數列中找到第 n 項？

要找到第 n 項，請使用公式：

$$a_n = a * r^(n-1)$$

其中：

• a_n 是第 n 項
• a 是數列的第一項
• r 是公比
• n 是您要查找的項的位置

Example: 找出數列 2, 6, 18,... 的第 5 項 a = 2, r = 3, n = 5

$$a_5 = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162$$

所以，第 5 項是 162。

等比數列的公比可以為 1 嗎？

是的，等比數列的公比可以為 1。 在這種情況下，數列中的所有項都將相同。

Example: 如果第一項是 5 且公比是 1，則數列將是 5, 5, 5, 5...

r = 1 時前 n 項的總和僅為 n*a。

等比數列計算與等差數列計算有何不同？

主要區別在於項的生成方式：

• Geometric Sequence: 每一項都是通過將前一項乘以一個常數比率來找到的。
• Arithmetic Sequence: 每一項都是通過將一個常數差加到前一項來找到的。

公式也不同：

• Geometric nth term:

$$a_n = a * r^(n-1)$$

• Arithmetic nth term:

$$a_n = a + (n-1) * d$$

其中 d 是公差。

• Geometric Sum:

$$S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)$$

• Arithmetic Sum:

$$S_n = n/2 * [2a + (n-1)d]$$

等比數列計算中常見的錯誤有哪些？

• Confusing geometric and arithmetic sequences: 始終仔細檢查數列是否涉及乘法（等比）或加法（等差）。
• Calculating the common ratio incorrectly: 確保您將一項除以其前一項。
• Using the wrong formula: 僅對等比數列使用等比數列公式。
• Ignoring the |r| < 1 condition for sum to infinity: 總和到無窮大的公式僅在公比的絕對值小於 1 時才有效。 如果 |r| >= 1，則序列發散，並且總和是無限的。
• Arithmetic Errors: 仔細檢查所有計算以避免簡單的錯誤。
• Forgetting the order of operations: 記住先應用指數，然後再進行乘法。