Mathos AI | 二項機率計算器 - 立即計算機率

二項機率計算的基本概念

什麼是二項機率計算？

二項機率計算是機率和統計學中一個強大的工具，它可以幫助我們確定在一系列獨立試驗中獲得特定成功次數的可能性。可以把它想像成多次拋硬幣，並且想知道獲得一定次數正面的機率。每次拋擲都是一次試驗，而獲得正面就是一次成功。二項機率計算為我們提供了量化這些機率的工具。

更正式地說，它適用於以下情況：

• 固定的試驗次數。
• 每次試驗都與其他試驗無關（一次試驗的結果不會影響其他試驗的結果）。
• 每次試驗只有兩種可能的結果：成功或失敗。
• 成功的機率在每次試驗中保持不變。

關鍵術語和定義

在我們深入計算之前，讓我們先定義一些基本術語：

• Trial: 一個實驗的單一實例。範例：擲骰子一次。

• Independent Trials: 一個的結果不影響另一個結果的試驗。範例：多次拋硬幣。

• Success: 試驗的期望結果。範例：在骰子上擲出 '4'。

• Failure: 任何不被視為成功的結果。範例：在骰子上擲出除了 '4' 以外的任何數字。

• Probability of Success (p): 在單次試驗中獲得成功的機率。範例：在一個公正的六面骰子上擲出 '4' 的機率是 1/6。

$$p = \frac{1}{6}$$

• Probability of Failure (q): 在單次試驗中沒有獲得成功的機率。它的計算方法是 1 - p。範例：沒有擲出 '4' 的機率是 1 - (1/6) = 5/6。

$$q = 1 - p = \frac{5}{6}$$

• Number of Trials (n): 實驗重複的總次數。範例：擲骰子 10 次意味著 n = 10。

• Number of Successes (k): 你希望在 'n' 次試驗中成功發生的次數。範例：希望在 10 次擲骰子中擲出正好兩個 '4'，那麼 k=2。

如何進行二項機率計算

逐步指南

二項機率計算圍繞著一個單一的公式。讓我們分解一下如何使用它：

1. 二項機率公式：

在 n 次試驗中獲得正好 k 次成功的機率由下式給出：

$$P(X = k) = (nCk) * p^k * q^(n-k)$$

其中：

• P(X = k): 在 n 次試驗中獲得正好 k 次成功的機率。

• nCk: 二項式係數，讀作 n choose k。它表示從 n 次試驗中選擇 k 次成功的方法數。它的計算公式為：

$$nCk = \frac{n!}{k! * (n-k)!}$$

其中 ! 表示階乘（例如，5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1）。

• p^k: 獲得 k 次成功的機率。

• q^(n-k): 獲得 (n-k) 次失敗的機率。

2. 計算步驟：

1. Identify n, k, p, and q: 仔細閱讀題目，並確定試驗次數 (n)、你感興趣的成功次數 (k)、單次試驗成功的機率 (p) 和單次試驗失敗的機率 (q = 1 - p) 的值。

2. Calculate the binomial coefficient (nCk): 使用公式

$$nCk = \frac{n!}{k! * (n-k)!}$$

請記住 0! = 1。

3. Calculate p^k: 將成功的機率 (p) 提高到成功次數 (k) 的冪。

4. Calculate q^(n-k): 將失敗的機率 (q) 提高到失敗次數 (n-k) 的冪。

5. Plug the values into the formula: 將計算出的值代入二項機率公式：

$$P(X = k) = (nCk) * p^k * q^(n-k)$$

6. Calculate the result: 執行乘法運算以找出機率 P(X = k)。

3. 範例：

假設你拋一個公正的硬幣 4 次。獲得正好 2 次正面的機率是多少？

1. Identify n, k, p, and q:

• n = 4 (拋擲次數)
• k = 2 (正面次數)
• p = 0.5 (單次拋擲獲得正面的機率)
• q = 0.5 (單次拋擲獲得反面的機率)

2. Calculate the binomial coefficient (nCk):

$$4C2 = \frac{4!}{2! * 2!} = \frac{4 * 3 * 2 * 1}{(2 * 1) * (2 * 1)} = \frac{24}{4} = 6$$

3. Calculate p^k:

$$(0.5)^2 = 0.25$$

4. Calculate q^(n-k):

$$(0.5)^{(4-2)} = (0.5)^2 = 0.25$$

5. Plug the values into the formula:

$$P(X = 2) = 6 * 0.25 * 0.25$$

6. Calculate the result:

$$P(X = 2) = 0.375$$

因此，在 4 次拋硬幣中獲得正好 2 次正面的機率是 0.375 或 37.5%。

要避免的常見錯誤

• Incorrectly identifying n, k, p, and q: 仔細檢查你是否從題目中正確識別了這些值。一個常見的錯誤是混淆 'n' 和 'k'。

• Not calculating the binomial coefficient correctly: 二項式係數是公式中的一個關鍵部分。確保你理解階乘以及如何計算 nCk。如果需要，可以使用計算機，尤其是對於較大的 n 和 k 值。

• Forgetting to calculate q: 記住 q = 1 - p。如果你只識別 'p'，你會得到錯誤的答案。

• Assuming independence when it doesn't exist: 二項機率公式僅適用於獨立試驗。如果一次試驗的結果影響另一次試驗的結果，你不能使用這個公式。你需要另一種方法。

• Misunderstanding the question: 注意問題是否要求正好 k 次成功、至少 k 次成功或最多 k 次成功的機率。如果是至少或最多，你需要計算多個二項機率並將它們加在一起。

• Calculator Errors: 在處理指數和階乘時，尤其是對於較大的數字，計算機錯誤是很常見的。仔細檢查你的輸入和結果。

二項機率計算在現實世界中的應用

在各個領域中的應用

二項機率計算非常通用，並出現在許多領域中：

• Quality Control: 想像一下一家生產小部件的工廠。他們可以使用二項機率來確定在一批小部件中找到一定數量的有缺陷小部件的機率。例如，如果通常有 2% 的小部件有缺陷，那麼在 50 個樣本中找到 3 個有缺陷小部件的機率是多少？

• Medical Research: 在測試一種新藥物時，研究人員使用二項機率來計算一定數量的患者對治療產生積極反應的可能性。如果一種治療方法的成功率為 60%，那麼 10 名患者中至少有 7 名病情好轉的機率是多少？

• Polling and Surveys: 政治民意調查很大程度上依賴於二項機率。如果一項調查顯示 55% 的選民支持一位候選人，那麼 100 名選民的隨機樣本顯示多數（超過 50 人）支持該候選人的機率是多少？

• Genetics: 二項機率有助於預測遺傳特定特徵的可能性。如果父母雙方都是隱性基因的攜帶者，並且每個孩子有 25% 的機率遺傳到這種疾病，那麼他們在 4 個孩子中有正好 2 個孩子患有這種疾病的機率是多少？

• Marketing: 一項行銷活動在客戶觀看廣告後產生銷售的成功率為 10%。從 30 次廣告瀏覽中獲得正好 5 次銷售的機率是多少？

案例研究和範例

Case Study 1: Coin Toss Game

一個遊戲涉及拋擲一個有偏差的硬幣 6 次。硬幣是有偏差的，因此獲得正面的機率是 0.7。獲得正好 4 次正面的機率是多少？

• n = 6 (拋擲次數)
• k = 4 (正面次數)
• p = 0.7 (正面機率)
• q = 1 - 0.7 = 0.3 (反面機率)

$$P(X = 4) = (6C4) * (0.7)^4 * (0.3)^2$$ $$6C4 = \frac{6!}{4! * 2!} = \frac{6 * 5}{2 * 1} = 15$$ $$P(X = 4) = 15 * (0.7)^4 * (0.3)^2 = 15 * 0.2401 * 0.09 = 0.324135$$

獲得正好 4 次正面的機率約為 0.324。

Case Study 2: Basketball Free Throws

一名籃球運動員的罰球命中率為 80%。如果在比賽中他們進行 5 次罰球，那麼他們至少命中 4 次罰球的機率是多少？

至少 4 次意味著命中 4 次或 5 次罰球。因此，我們需要計算 P(X=4) + P(X=5)。

• n = 5 (罰球次數)
• p = 0.8 (命中罰球的機率)
• q = 0.2 (未命中罰球的機率)

對於 X = 4：

$$P(X = 4) = (5C4) * (0.8)^4 * (0.2)^1$$ $$5C4 = \frac{5!}{4! * 1!} = 5$$ $$P(X = 4) = 5 * 0.4096 * 0.2 = 0.4096$$

對於 X = 5：

$$P(X = 5) = (5C5) * (0.8)^5 * (0.2)^0$$ $$5C5 = 1$$ $$P(X = 5) = 1 * 0.32768 * 1 = 0.32768$$

因此，至少命中 4 次罰球的機率是：

$$P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728$$

至少命中 4 次罰球的機率約為 0.737。

二項機率計算的常見問題

二項機率計算的公式是什麼？

二項機率計算的公式是：

$$P(X = k) = (nCk) * p^k * q^(n-k)$$

其中：

• P(X = k) 是在 n 次試驗中正好 k 次成功的機率。
• nCk 是二項式係數，計算公式為

$$\frac{n!}{k! * (n-k)!}$$

• p 是單次試驗成功的機率。
• q 是單次試驗失敗的機率 (q = 1 - p)。
• n 是試驗次數。
• k 是成功次數。

二項機率與常態機率有何不同？

二項機率處理的是離散資料，而常態機率處理的是連續資料。

• Binomial: 當你有一組固定數量的獨立試驗，每次試驗有兩種可能的結果（成功或失敗）時使用。你正在計算成功次數。範例：10 次拋硬幣中正面的次數（你只能有整數個正面）。

• Normal: 用於可以在一定範圍內取任何值的連續變數。範例：班級中學生的身高。

另一個關鍵差異是分佈形狀。二項分佈是離散的，並且可能是偏斜的，而常態分佈是連續的且對稱的（鐘形）。但是，對於足夠大的 'n' 且 'p' 不太接近 0 或 1，二項分佈可以被常態分佈近似。

二項機率可以用於非二元結果嗎？

不，基本二項機率公式是為只有兩種可能結果的情況設計的（二元結果：成功或失敗）。

但是，有時你可以重新架構一個具有多個結果的問題，使其符合二項式框架。例如，如果你擲一個骰子，並且想知道在 5 次擲骰子中正好擲出兩次 6 的機率，你可以將成功定義為擲出 6，將失敗定義為擲出任何其他數字（1、2、3、4 或 5）。

對於具有兩個以上不同結果的情況，如果你想分析每個結果的機率，你將使用多項式分佈，它是二項分佈的推廣。

有哪些二項機率計算工具？

以下是一些可以協助進行二項機率計算的工具：

• Calculators: 許多科學計算機都具有用於計算階乘和二項式係數（nCr 或 nCk）的內建函數。有些還具有直接的二項機率函數（binompdf、binomcdf）。

• Spreadsheet Software (e.g., Excel, Google Sheets): 這些程式提供諸如 BINOM.DIST（在 Excel 中）之類的函數，用於計算二項機率。你可以輕鬆指定成功次數、試驗次數、成功機率，以及你是否需要正好 k 次成功的機率質量函數 (PMF) 或最多 k 次成功的累積分布函數 (CDF)。

• Statistical Software (e.g., R, Python with SciPy): 這些軟體提供廣泛的統計函數，包括二項機率計算，並允許進行更複雜的分析和視覺化。

• Online Binomial Probability Calculators: 許多網站提供免費的二項機率計算器。Mathos AI 就是一個例子！這些工具對於快速計算和探索非常方便。

二項機率計算的準確性如何？

當獨立試驗、固定試驗次數、恆定的成功機率和二元結果的假設完全滿足時，二項機率計算在理論上是精確的。

但是，在現實世界的應用中：

• Rounding Errors: 在手動或使用計算機進行計算時，捨入誤差可能會累積，尤其是在處理非常小的機率或大數字時。使用具有更高精度的軟體可以減輕這種情況。

• Assumptions Violated: 模型（使用二項機率）的準確性取決於現實情況與假設的匹配程度。如果試驗不是真正獨立的，或者成功機率在每次試驗中都會改變，則二項式計算將是一個近似值，並且其準確性將受到限制。

• Approximations Used: 如前所述，對於大的 'n'，二項分佈可以被常態分佈或卜瓦松分佈近似。這些近似會引入一定程度的誤差，但當計算精確的二項機率在計算上變得非常密集時，它們可能會很有用。這些近似的準確性取決於 'n' 和 'p' 的特定值。通常，當 'n' 很大且 'p' 接近 0.5 時，近似效果更好。