Mathos AI | CDF 計算器 - 立即計算累積分布函數

CDF 計算的基本概念

什麼是 CDF 計算？

在數學領域，特別是在機率與統計學中，CDF 計算的中心在於確定隨機變數的 累積分布函數 (CDF)。為了充分理解這個概念，讓我們先了解什麼是隨機變數。

隨機變數 是一個變數，其值是隨機現象的數值結果。隨機變數可以是 離散的 (僅採用特定的、可數的值) 或 連續的 (在給定範圍內採用任何值)。範例包括：

• 拋擲硬幣 4 次時出現反面的次數。
• 從籃子中隨機選擇的蘋果的重量。
• 在隨機時間測量的房間溫度。

CDF 提供了一種描述隨機變數機率分布的綜合方法。隨機變數 X 的 CDF，以 F(x) 或 F_X(x) 表示，給出 X 將取小於或等於 x 的值的機率。

在數學上，這表示為：

$$F(x) = P(X ≤ x)$$

簡單來說，它告訴您在數線上特定點 x 之前累積了多少機率質量，表示隨機變數的可能值。

對於 離散隨機變數，CDF 是一個 階梯函數。我們透過對隨機變數所有小於或等於 x 的值的機率求和來計算它。

離散隨機變數的公式為：

$$F(x) = P(X ≤ x) = \sum P(X = x_i)$$

其中總和遍及所有 x_i，使得 x_i ≤ x。

對於 連續隨機變數，CDF 是一個 連續且非遞減的函數。我們透過將機率密度函數 (PDF) 積分到值 x 來計算它。

連續隨機變數的公式為：

$$F(x) = P(X ≤ x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$$

其中 f(t) 是隨機變數 X 的機率密度函數 (PDF)。

CDF 在統計學中的重要性

理解和計算 CDF 對於以下幾個原因至關重要：

• 完整的分布特徵： CDF 提供了隨機變數機率分布的完整描述。了解 CDF 使我們能夠確定任何值區間的機率。

• 機率計算： 我們可以使用 CDF 輕鬆計算機率。例如：

• P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)

• P(X > a) = 1 - F(a)

• 統計推論： CDF 廣泛用於統計推論，例如假設檢定和信賴區間估計。例如，將經驗 CDF (從樣本資料計算) 與理論 CDF 進行比較，可以幫助確定樣本是否來自特定分布。

• 模擬： CDF 對於從給定分布產生隨機數至關重要。逆轉換抽樣方法使用 CDF 的逆來產生隨機樣本。

• 資料分析： 了解 CDF 可以透過視覺化分布並識別諸如百分位數和四分位數等關鍵特徵來幫助分析和解釋資料。

如何進行 CDF 計算

逐步指南

以下是如何計算 CDF 的逐步指南，以及說明性範例：

1. 識別隨機變數及其類型：

確定隨機變數是離散的還是連續的。這決定了用於 CDF 計算的方法。

2. 對於離散隨機變數：

• 列出所有可能的值： 識別離散隨機變數可以採用的所有可能值。

• 確定機率質量函數 (PMF)： 找到與每個可能值相關聯的機率。

• 計算 CDF： 對於每個值 x，對所有小於或等於 x 的值的機率求和。

• F(x) = P(X ≤ x) = Σ P(X = x_i)，其中總和遍及所有 x_i，使得 x_i ≤ x。

範例：

假設我們有一個隨機變數 X，表示擲一個四面骰子時顯示的點數。X 可以取值 1、2、3 或 4。假設骰子是公平的。

• P(X = 1) = 1/4
• P(X = 2) = 1/4
• P(X = 3) = 1/4
• P(X = 4) = 1/4

現在，讓我們計算 CDF：

• F(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 1) = 1/4
• F(2) = P(X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = 1/4 + 1/4 = 1/2
• F(3) = P(X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4
• F(4) = P(X ≤ 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1

3. 對於連續隨機變數：

• 識別機率密度函數 (PDF)： 確定 PDF，f(x)，它描述了連續隨機變數的分布。

• 積分 PDF： 透過將 PDF 從負無窮大積分到值 x 來計算 CDF。

• F(x) = P(X ≤ x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt

範例：

假設 X 是一個連續隨機變數，在 0 到 5 之間具有均勻分布。PDF 為：

• f(x) = 1/5，對於 0 ≤ x ≤ 5
• f(x) = 0，否則

現在，讓我們計算 CDF：

• 對於 x < 0：F(x) = 0
• 對於 0 ≤ x ≤ 5：F(x) = ∫{0}^{x} (1/5) dt = (1/5) * [t]{0}^{x} = (1/5) * (x - 0) = x/5
• 對於 x > 5：F(x) = 1

因此，CDF 為：

• F(x) = 0，對於 x < 0
• F(x) = x/5，對於 0 ≤ x ≤ 5
• F(x) = 1，對於 x > 5

4. 逐段定義 CDF：

將 CDF 寫成一個逐段函數，涵蓋 x 的所有可能值。這對於連續隨機變數尤其重要。

5. 驗證 CDF 的屬性：

確保計算出的 CDF 滿足以下關鍵屬性：

• 0 ≤ F(x) ≤ 1，對於所有 x
• F(x) 是一個非遞減函數。
• lim_{x→-∞} F(x) = 0
• lim_{x→+∞} F(x) = 1

要避免的常見錯誤

• 混淆 PDF 和 CDF： 請記住，PDF 表示某個點的機率 密度，而 CDF 表示直到某個點的累積機率。
• 不正確的積分極限： 在計算連續隨機變數的 CDF 時，請確保積分極限正確，尤其是在處理逐段定義的 PDF 時。
• 忘記正規化： 為了使函數成為有效的 PDF，其整個範圍內的積分必須等於 1。如果需要，請確保正規化 PDF。
• 離散變數的不正確求和： 在計算離散隨機變數的 CDF 時，請確保您正確地對所有小於或等於 x 的值的機率求和。
• 未考慮所有區間： 在逐段定義 CDF 時，請確保涵蓋隨機變數的所有可能區間。

CDF 計算在現實世界中

在工程中的應用

CDF 廣泛用於各種工程學科。以下是一些範例：

• 可靠性工程： CDF 用於模擬元件或系統失效前的時間。例如，指數分布通常用於模擬電子元件的壽命。指數分布的 CDF 可用於計算元件在特定時間之前失效的機率。如果失效機率為 $\lambda$，則 CDF 為

$$F(t) = 1 - e^{-\lambda t}$$

• 土木工程： CDF 可用於模擬特定位置的降雨或風速分布。此資訊可用於設計能夠承受極端天氣事件的結構。例如，年度最大風速的 CDF 可用於確定建築物必須能夠承受的風荷載。

在金融中的應用

• 風險管理： CDF 是量化和管理風險的重要工具。例如，風險值 (VaR) 是衡量資產或投資組合在給定時間段內和給定信賴水準下價值潛在損失的指標。可以使用資產回報的 CDF 計算 VaR。
• 選擇權定價： 用於選擇權定價的 Black-Scholes 模型使用標準常態分布的 CDF 來計算選擇權將被執行的機率。買權價格的公式為：

$$C = S N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)$$

其中 $N(x)$ 是標準常態分布的 CDF。

CDF 計算的常見問題

PDF 和 CDF 有什麼區別？

機率密度函數 (PDF)，表示為 f(x)，描述了連續隨機變數在特定點 x 的機率 密度。它不是機率本身，而是衡量隨機變數取接近 x 的值的相對可能性。PDF 曲線下在給定區間上的面積表示隨機變數落在該區間內的機率。

累積分布函數 (CDF)，表示為 F(x)，給出隨機變數 X 將取小於或等於 x 的值的機率。它表示直到某個點的累積機率。

總結：

• PDF： 某個點的機率密度 (連續隨機變數)。
• CDF： 直到某個點的累積機率 (離散和連續隨機變數)。

如何解釋 CDF 圖？

CDF 圖在 y 軸上繪製累積機率 F(x)，在 x 軸上繪製隨機變數 x 的值。以下是如何解釋它：

• Y 軸值： 對於 x 軸上給定的 x 值，對應的 y 軸值表示隨機變數小於或等於 x 的機率。
• 形狀： CDF 始終是非遞減的，從 0 開始，並隨著 x 的增加而接近 1。曲線的形狀反映了隨機變數的分布。陡峭的斜率表示該區域中的高機率密度，而平坦的區域表示低機率密度。
• 步驟 (對於離散變數)： 對於離散隨機變數，CDF 圖是一個階梯函數。每個步驟的高度表示隨機變數取該特定值的機率。
• 百分位數： CDF 圖可用於找到分布的百分位數。例如，第 25 個百分位數 (或第一四分位數) 是 F(x) = 0.25 的 x 值。

CDF 可以大於 1 嗎？

否，CDF 永遠不能大於 1。根據定義，CDF F(x) 表示隨機變數 X 小於或等於 x 的機率。機率始終介於 0 和 1 之間，包括 0 和 1。因此，CDF 可以達到的最大值為 1，表示隨機變數取任何可能值的機率。

在數學上：

$$0 ≤ F(x) ≤ 1 for all x$$

為什麼 CDF 在機率中很重要？

CDF 在機率中很重要，原因如下：

• 完整的分布特徵： 它提供了隨機變數機率分布的完整描述。了解 CDF 使我們能夠確定任何值區間的機率。
• 機率計算： 它可以輕鬆計算機率，例如 P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)。
• 統計推論： 它用於假設檢定和信賴區間估計。
• 模擬： 對於從給定分布產生隨機數 (使用逆轉換抽樣) 來說，它是必不可少的。

CDF 如何用於機器學習？

CDF 以各種方式用於機器學習，包括：

• 特徵工程： CDF 可用於轉換特徵，使其更適合某些機器學習演算法。例如，使用其 CDF 轉換特徵可以使其更接近常態分布。
• 機率校準： 在分類任務中，機器學習模型通常輸出機率。CDF 可用於校準這些機率，確保它們與觀察到的頻率很好地對齊。
• 異常檢測： CDF 可用於識別資料集中的離群值或異常值。例如，落在 CDF 極端尾部 (即具有非常低或非常高的 CDF 值) 的資料點可能被視為異常值。
• 存活分析： CDF 用於模擬事件發生的時間 (例如，客戶流失、設備故障)。