Mathos AI | Antiderivative Calculator - Belirsiz İntegralleri Bulma

Antiderivatiflere Giriş

Hiç bir fonksiyonun türevini verildiğinde, orijinal fonksiyonu bulmak için türev alma işlemini tersine çevirmenin nasıl olduğunu merak ettiniz mi? Antiderivatiflerin büyüleyici dünyasına hoş geldiniz! Antiderivatifler, belirsiz integraller olarak da bilinir, kalkülüsün temel bir kavramıdır. Bu kavram, fonksiyonları türevlerinden yeniden inşa etmemizi sağlar ve eğrilerin altındaki alanlar, hareket, birikim ve çok daha fazlası ile ilgili problemleri çözmemize olanak tanır.

Bu kapsamlı kılavuzda, antiderivatifleri anlamanızı kolaylaştıracağız, onları bulma yöntemlerini keşfedeceğiz ve temel antiderivatif kurallarını tartışacağız. Sine, kosinüs ve tanjant gibi trigonometrik fonksiyonların yanı sıra logaritmik ve üstel fonksiyonlar gibi yaygın fonksiyonların antiderivatiflerine dalacağız. Ayrıca, karmaşık hesaplamaları basitleştiren ve detaylı çözümler sunarak anlayışınızı artıran Mathos AI Antiderivatif Hesaplayıcısı ile tanışacaksınız.

İster kalkülüs problemleriyle ilk kez karşılaşan bir öğrenci olun, ister becerilerinizi tazelemek isteyen biri, bu kılavuz antiderivatifleri anlamayı kolay ve keyifli hale getirecek!

Antiderivatif Nedir?

Antiderivatiflerin Kavramını Anlamak

Bir fonksiyonun $f(x)$ antiderivatifleri, $F(x)$ olarak adlandırılan başka bir fonksiyondur; böylece $F(x)$'i türevlediğinizde $f(x)$'i elde edersiniz:

$$F^{ ext{prime}}(x)=f(x)$$

Daha basit bir ifadeyle, bir şeyin değişim hızını (türevini) biliyorsanız, antiderivatif size orijinal miktarı söyler. Bir antiderivatif bulmak, esasen bir türev bulmanın tersidir.

Hatırlanması Gereken Ana Noktalar:

• Eşsiz Değil: Antitürevler eşsiz değildir. Eğer $F(x)$, $f(x)$'in bir antitürevi ise, o zaman $F(x)+C$ de bir antitürevdir, burada $C$ herhangi bir sabittir. Bunun nedeni, bir sabitin türevlerinin sıfır olmasıdır.
• Belirsiz İntegraller: $f(x)$'in tüm olası antitürevlerinin topluluğuna $f(x)$'in belirsiz integrali denir.

Notasyon:

$f(x)$'in antitürevi veya belirsiz integrali integral sembolü ile gösterilir:

$$\int f(x) d x=F(x)+C$$

• Sembol $\\int$ integral işaretidir.
• $f(x)$ integrand'dır, entegre ettiğiniz fonksiyondur.
• $d x$ entegrasyon değişkenini belirtir.
• $C$ entegrasyon sabitidir.

Gerçek Dünya Analojisi

Türev alma ve integral alma işlemlerini bir tepeye çıkıp inmek gibi düşünün:

• Türev Alma: Tepenin şekli (fonksiyon) verildiğinde, her noktadaki dikliği bulmak (türev).
• İntegral Alma: Her noktadaki diklik (türev) verildiğinde, tepenin şeklini yeniden oluşturmak (orijinal fonksiyon).

Antitürevler Neden Önemlidir?

Antitürevlerin Uygulamaları

Antitürevler çeşitli alanlarda kritik öneme sahiptir:

• Fizik: Hızdan yer değiştirmeyi veya ivmeden hızı hesaplama.
• Mühendislik: Miktarların birikiminin önemli olduğu sistemleri analiz etme.
• Ekonomi: Marjinal maliyet veya gelir fonksiyonlarından toplam maliyet veya geliri belirleme.
• Olasılık ve İstatistik: Olasılık dağılımlarını ve beklenen değerleri bulma.

Antitürevleri anlamak, şunları yapmanıza olanak tanır:

• Alanları Hesaplama: Eğrilerin altında veya fonksiyonlar arasında.
• Diferansiyel Denklemleri Çözme: Gerçek dünya fenomenlerini modellemede esastır.
• Hareketi Analiz Etme: Konum, hız ve ivme ilişkilerini belirleme.

Türev Alma Nasıl Bulunur?

Türev Bulma Süreci

Bir antitürev bulmak, türev alma sürecinin tersini gerçekleştirmeyi içerir. İşte buna nasıl yaklaşabileceğiniz:

1. Fonksiyon Türünü Belirleyin:

• Bu bir polinom, üstel, trigonometrik veya logaritmik fonksiyon mu?
• Bilinen bir türevi andırıyor mu?

2. Antitürev Kurallarını Uygulayın:

• Temel antitürev formüllerini kullanın.
• Standart formlarla eşleşen kalıpları tanıyın.

3. Gerekirse İntegrasyon Tekniklerini Kullanın:

• Yerine Koyma: Bileşik fonksiyonlar için.
• Parçalı İntegrasyon: İntegrand bir fonksiyonlar çarpımı olduğunda.
• Kısmi Kesirler: Rasyonel fonksiyonlar için.

4. İntegrasyon Sabitini Ekleyin:

• Antitürev ailesini temsil etmek için her zaman $+C$ ekleyin.

Örnek:

$f(x)=2 x$ fonksiyonunun antitürevini bulun. Çözüm:

1. Fonksiyon Türünü Belirleyin:

• Bu bir polinom fonksiyonu.

2. Antitürev için Güç Kuralını Uygulayın:

• $\int x^n d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

3. Antitürevi Hesaplayın:

$$\int 2 x d x=2 \int x d x=2\left(\frac{x^{1+1}}{1+1}\right)+C=2\left(\frac{x^2}{2}\right)+C=x^2+C$$

Cevap: $x^2+C$

Temel Antitürev Kuralları Nedir?

Temel antitürev kurallarını anlamak, integralleri verimli bir şekilde çözmek için esastır.

Temel Antitürev Formülleri

1. Güç Kuralı:

Herhangi bir reel sayı $n \neq-1$ için:

$$\int x^n d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

Açıklama:

• Bu kural, türevler için kuvvet kuralını tersine çevirir.
• $n$'nin -1 olamayacağını unutmayın çünkü sıfıra bölme tanımsızdır.

2. Üstel Fonksiyonların Antitürevleri:

• Doğal Üstel Fonksiyon:

$$\int e^x d x=e^x+C$$

• $e^x$'in türevi $e^x$ olduğu için, antitürevi de $e^x$'dir.
• Genel Üstel Fonksiyon:

$$\int a^x d x=\frac{a^x}{\ln a}+C \quad(\text { için } a>0, a \neq 1)$$

• Burada, $\ln a$ $a$'nın doğal logaritmasıdır.

3. Ters Fonksiyonun Antitürevi:

$$\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$$

• Mutlak değer, fonksiyonun $x \neq 0$ için tanımlı olmasını sağlar.

4. Trigonometrik Fonksiyonların Antitürevleri:

• Sinüs Fonksiyonu:

$$\int \sin x d x=-\cos x+C$$

• Çünkü $\frac{d}{d x}(-\cos x)=\sin x$.
• Kosinüs Fonksiyonu:

$$\int \cos x d x=\sin x+C$$

• Çünkü $\frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x$.
• Sekant Kare Fonksiyonu:

$$\int \sec ^2 x d x=\tan x+C$$

• $\frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^2 x$.
• Kosekant Kare Fonksiyonu:

$$\int \csc ^2 x d x=-\cot x+C$$

• Sekant Çarpı Tanjant:

$$\int \sec x \tan x d x=\sec x+C$$

• Kosekant Çarpı Kotanjant:

$$\int \csc x \cot x d x=-\csc x+C$$

5. Logaritmik Fonksiyonun Antitürevi:

• Doğal logaritma fonksiyonu $\ln x$'in temel bir antitürev formülü yoktur, ancak entegrasyon parçaları kullanılarak entegre edilebilir (daha sonra açıklanacaktır).

Bu Formülleri Neden Ezberlemelisiniz?

• Verimlilik: Standart formları tanımak, problem çözmeyi hızlandırır.
• Temel: Daha karmaşık integraller için yapı taşlarıdır.
• Çok yönlülük: Çeşitli matematiksel ve gerçek dünya problemlerinde uygulanabilir.

Antitürevler için Belirsiz İntegral Notasyonunu Nasıl Kullanırsınız?

Notasyonun Anlaşılması

Belirsiz integral notasyonu $\int f(x) d x$ $f(x)$'in tüm antiderivatiflerini temsil eder.

• Integral İşareti $\int:$ İntegrasyon işlemini simgeler.
• Integrand $f(x)$ : İntegral alınan fonksiyon.
• Diferansiyel $d x$ : Entegrasyon değişkenini gösterir.
• Entegrasyon Sabiti $+C$ : Sabit bir farkla değişen tüm olası antiderivatifleri hesaba katar.

Örnek:

Verilen $f(x)=3 x^2$, $\int f(x) d x$'i bulun. Çözüm:

$$\int u d v=u v-\int v d u$$

Adımlar:

1. $u$ ve $d v$'yi seçin:

• $u=\ln x$ (çünkü türev almak daha kolaydır).
• $d v=d x$ (çünkü $d x$'in integralini almak basittir).

2. $d u$ ve $v$'yi hesaplayın:

• $d u=\frac{1}{x} d x$
• $v=x$

3. Formülü uygulayın:

$$\int \ln x d x=x \ln x-\int x\left(\frac{1}{x}\right) d x=x \ln x-\int 1 d x=x \ln x-x+C$$

Cevap:

$$\int \ln x d x=x \ln x-x+C$$

$ext{Sin x}$'in Antiderivatif'i Nedir? Daha önce tartışıldığı gibi:

$$\int \sin x d x=-\cos x+C$$

Hatırlayın:

• $-\cos x$'in türevi $\sin x$'dir.
• Negatif işareti önemlidir; onu atlamak yanlış bir antiderivatif ile sonuçlanır.

$ext{Cos x}$'in Antiderivatif'i Nedir?

$$\int \cos x d x=\sin x+C$$

Ana Nokta:

• $\sin x$'in türevi $\cos x$'dir, bu nedenle $\cos x$'in antiderivatif'i $\sin x+C$'dir.

$ext{Tan x}$'in Antiderivatif'i Nedir?

$$\int \tan x d x=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C$$

Açıklama:

• $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ kimliğini ve entegrasyon tekniklerini kullanarak, bir logaritma içeren antiderivatif'e ulaşırız.

$ext{Ln x}$'in Antiderivatif'i Nedir?

Parçalı entegrasyon kullanarak:

$$\int \ln x d x=x \ln x-x+C$$

Parçalı Entegrasyonu Anlamak:

• Parçalı entegrasyon, türev alma çarpan kuralından türetilmiştir.
• Bir fonksiyonun türev alındığında daha basit hale geldiği durumlarda kullanışlıdır.

rac{1}{x}'in Antiderivatif'i Nedir?

$$\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$$

Önemli Not:

• Fonksiyon $\frac{1}{x}$, antiderivatifinin bir logaritma içermesi nedeniyle benzersizdir.
• Mutlak değer, logaritmanın $x$'in negatif değerleri için tanımlı olmasını sağlar.

$\sec x$'in Antiderivatifinin Nedir?

$$\int \sec x d x=\ln |\sec x+\tan x|+C$$

Bu Neden Kullanışlıdır?

• $\sec x$'in antiderivatifinin hemen belirgin olmaması, ancak sekant fonksiyonlarını içeren integralleri çözmede önemli olmasıdır.
• Özellikle trigonometrik ikame ve integral problemlerinde kullanışlıdır.

Trigonometrik Antiderivatifler Nasıl Çalışır?

Trigonometrik Fonksiyonları Anlamak

Trigonometrik fonksiyonlar, dik üçgenlerdeki ilişkileri ve periyodik fenomenleri tanımlar. Antiderivatiflerini bilmek, kalkülüste kritik öneme sahiptir.

Yaygın Trigonometrik Antiderivatifler

1. Sinüs ve Kosinüs:

• $\int \sin x d x=-\cos x+C$
• $\int \cos x d x=\sin x+C$

2. Tanjant ve Kotanjant:

• $\int \tan x d x=-\ln |\cos x|+C$
• $\int \cot x d x=\ln |\sin x|+C$

3. Sekant ve Kosekant:

• $\int \sec x d x=\ln |\sec x+\tan x|+C$
• $\int \csc x d x=-\ln |\csc x+\cot x|+C$

4. Sekant Kare ve Kosekant Kare:

• $\int \sec ^2 x d x=\tan x+C$
• $\int \csc ^2 x d x=-\cot x+C$

Trigonometrik İntegraller için İpuçları

• Anahtar Antiderivatifleri Ezberleyin: Bunları ezbere bilmek zaman kazandırır.
• Kimlikleri Kullanın: Trigonometrik kimlikler integralleri basitleştirebilir.
• İkame: Bazen değişkenleri değiştirmek integrali yönetilebilir hale getirir.

Mathos AI Antiderivatif Hesaplayıcı Nasıl Yardımcı Olabilir?

Adımlarla Mathos AI Antiderivatif Hesaplayıcısını Tanıtma

Mathos AI Antiderivatif Hesaplayıcısı, antiderivatifleri bulmanıza yardımcı olmak için tasarlanmış güçlü bir araçtır, özellikle manuel hesaplamalar karmaşık hale geldiğinde.

Özellikler ve Faydalar

• Adım Adım Çözümler:
• Entegrasyon sürecini anlaşılır adımlara ayırır.
• Çözümün arkasındaki metodolojiyi öğrenmenize yardımcı olur.
• Karmaşık Fonksiyonları Yönetir:
• Trigonometrik, üstel, logaritmik ve rasyonel ifadeleri içeren fonksiyonları entegre edebilir.
• Kullanıcı Dostu Arayüz:
• Matematiksel ifadeler için sezgisel giriş yöntemleri.
• Açık açıklamalarla anında sonuçlar.
• Eğitim Kaynağı:
• Sadece cevabı değil, aynı zamanda süreci de göstererek öğrenmeyi artırır.
• Ödev kontrolü ve hataları anlama için faydalıdır.

Örnek:

Problem: $f(x)=\tan x$ fonksiyonunun antiderivatifini bulun.

Mathos AI Hesaplayıcısını Kullanarak:

• Giriş: $\tan (\mathrm{x})$
• Çıkış:

$$\int \tan x d x=-\ln |\cos x|+C$$

• Sağlanan Adımlar:
• $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ yerine koyma işlemini gösterir.
• Yerine koyma kullanarak entegrasyon sürecini gösterir.

Antiderivatif Sembolü Nedir ve Ne Anlama Gelir?

Antiderivatif Sembolünü Anlamak

Antiderivatif sembolü, $\int$ ile gösterilen integral işaretidir. Bu, toplam kavramını temsil eden uzatılmış bir " $S$ " den türetilmiştir.

Belirsiz İntegral Notasyonunun Bileşenleri:

• İntegral İşareti $\int:$ Entegrasyon işlemini gösterir.
• İntegrand $f(x)$ : Entegre ettiğiniz fonksiyon.
• Diferansiyel $d x$ : Entegre ettiğiniz değişkeni belirtir.
• Entegrasyon Sabiti $+C$ : Tüm olası antiderivatifleri temsil eder.

Tarihsel Bağlam

• Gottfried Wilhelm Leibniz, 17. yüzyılın sonlarında integral işaretini tanıttı.
• Bu, alanları, hacimleri ve diğer birikimleri bulmak için sonsuz küçük miktarların toplanmasını simgeler.

Görsel Temsil

• İntegral İşareti: "toplam" için bir " $S$ " ye benzer.
• Diferansiyel $d x$ : $x$'deki sonsuz küçük bir değişikliği temsil eder.

$$\int 3 x^2 d x=3 \int x^2 d x=3\left(\frac{x^3}{3}\right)+C=x^3+C$$

• Burada, $F(x)=x^3+C$ fonksiyonunun genel antiderivatifidir.

Yorum:

• Entegrasyon, Toplama Olarak: İntegral işareti, sonsuz küçük miktarların toplanması kavramından türetilmiştir.
• Tersine Çevirme: Entegrasyon, türev almanın tersidir, bu nedenle bir türevi entegre etmek, orijinal fonksiyonu (artı $C$) geri getirir.

Yaygın Fonksiyonların Antitürevini Nasıl Bulursunuz?

Trigonometric ve logaritmik fonksiyonlar dahil olmak üzere bazı yaygın fonksiyonların antitürevlerini keşfedelim.

$ext{sin} x$'in Antitürevi

$$\int \sin x \, d x=-\cos x+C$$

Açıklama:

• $-\cos x$'in türevi $\sin x$'dir.
• Bu nedenle, $\sin x$'in antitürevi $-\cos x+C$'dir.

$ext{cos} x$'in Antitürevi

$$\int \cos x \, d x=\sin x+C$$

Açıklama:

• $\sin x$'in türevi $\cos x$'dir.
• Dolayısıyla, $\cos x$'in antitürevi $\sin x+C$'dir.

$ext{tan} x$'in Antitürevi

$\int \tan x \, d x$'i bulmak için logaritmik bir kimlik kullanabiliriz.

Türetme:

1. $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$'i hatırlayın.
2. İntegrali yeniden yazın:

$$\int \tan x \, d x=\int \frac{\sin x}{\cos x} \, d x$$

3. $u=\cos x$ olarak tanımlayın, o zaman $d u=-\sin x \, d x$, bu nedenle $-d u=\sin x \, d x$.
4. Yerine koyun:

$$\int \frac{\sin x}{\cos x} \, d x=-\int \frac{1}{u} \, d u=-\ln |u|+C=-\ln |\cos x|+C$$

Cevap:

$$\int \tan x \, d x=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C$$

• Her iki form da logaritmik kimlik $\ln |\sec x|=-\ln |\cos x|$ nedeniyle doğrudur.

$ext{sec} x$'in Antitürevi

$$\int \sec x \, d x=\ln |\sec x+\tan x|+C$$

Türetme:

1. Pay ve paydayı $\sec x+\tan x$ ile çarpın:

$$\int \sec x \, d x=\int \frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x} \, d x$$

2. $u=\sec x+\tan x$ olarak tanımlayın, o zaman $d u=\left(\sec x \tan x+\sec ^2 x\right) \, d x$.
3. $\sec x(\sec x+\tan x) \, d x=d u$ olduğunu tanıyın.
4. Yerine koyun ve entegre edin:

$$\int \frac{d u}{u}=\ln |u|+C=\ln |\sec x+\tan x|+C$$

rac{1}{x}'in Antitürevi

$$\int \frac{1}{x} \, d x=\ln |x|+C$$

Açıklama:

• $\ln |x|$'in türevi $\frac{1}{x}$'dir, $x \neq 0$ için.
• Mutlak değer, fonksiyonun negatif $x$ için tanımlı olmasını sağlar.

$\ln x$'in Antitürev

$\int \ln x d x$'i bulmak, parçalı integral alma gerektirir.

Parçalı İntegral Alma Formülü:

Antitürev Bulma Örnekleri

Anlayışınızı pekiştirmek için birkaç örnek üzerinden geçelim.

Örnek 1: $3 x^2$'nin Antitürev

Problem:

$\int 3 x^2 d x$'i bulun.

Çözüm:

1. Fonksiyon Türünü Belirleyin:

• Polinom fonksiyonu.

2. Güç Kuralını Uygulayın:

$$\int x^n d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

3. Antitürevi Hesaplayın:

$$\int 3 x^2 d x=3 \int x^2 d x=3\left(\frac{x^3}{3}\right)+C=x^3+C$$

Cevap:

$$\int 3 x^2 d x=x^3+C$$

Örnek 2: $e^{2 x}$'nin Antitürev

Problem:

$\int e^{2 x} d x$'i bulun.

Çözüm:

1. Yer Değiştirme Kullanın:

• $u=2 x$ olarak alın, böylece $d u=2 d x$, bu da $d x=\frac{d u}{2}$ anlamına gelir.

2. İntegrale Yer Değiştirme Yapın:

$$\int e^{2 x} d x=\int e^u \cdot \frac{d u}{2}=\frac{1}{2} \int e^u d u$$

3. İntegral Alın:

$$\frac{1}{2} \int e^u d u=\frac{1}{2} e^u+C$$

4. $u=2 x$'i Geri Yerleştirin:

$$\frac{1}{2} e^{2 x}+C$$

Cevap:

$$\int e^{2 x} d x=\frac{1}{2} e^{2 x}+C$$

Örnek 3: $\frac{1}{x}$'nin Antitürev

Problem:

$\int \frac{1}{x} d x$'i bulun.

Çözüm:

• Formülü doğrudan uygulayın:

$$\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$$

Cevap:

$$\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$$

Örnek 4: $\sec ^2 x$'nin Antitürev

Problem:

$\int \sec ^2 x d x$'i bulun.

Çözüm:

• $\frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^2 x$ olduğunu hatırlayın.
• Bu nedenle:

$$\int \sec ^2 x d x=\tan x+C$$

Cevap:

$$\int \sec ^2 x d x=\tan x+C$$

Antitürevi Nasıl Bulunur?

Adım Adım Yaklaşım

1. Fonksiyon Türünü Belirleyin:

• Kalıpları ve standart formları tanıyın.

2. Uygun Yöntemi Seçin:

• Temel İntegrasyon Kuralları: Basit fonksiyonlar için.
• Yerine Koyma: İntegrand bir bileşik fonksiyon olduğunda.
• Parçalı İntegrasyon: Fonksiyonların çarpımları için.
• Kısmi Kesirler: Rasyonel fonksiyonlar için.

3. İntegrasyonu Gerçekleştirin:

• Kuralları veya yöntemleri dikkatlice uygulayın.
• Gerekirse integrandı sadeleştirin.

4. İntegrasyon Sabitini Ekleyin:

• Son cevabınıza $+C$ ekleyin.

Başarı İçin İpuçları

• Düzenli Pratik Yapın: Aşinalık pratikle gelir.
• Anlayın, Ezberlemeyin: Her adımın arkasındaki mantığı kavrayın.
• Kaynakları Kullanın: Mathos AI Hesaplayıcı gibi araçlar öğrenmeye yardımcı olabilir.
• Çalışmanızı Kontrol Edin: Sonucunuzu türevleyin ve orijinal fonksiyonu elde edip etmediğinizi kontrol edin.

Sonuç

Antitürevler, kalkülüsün temel taşlarından biridir ve bize türev alma işlemini tersine çevirme ve değişim oranlarından orijinal fonksiyonları bulma imkanı tanır. Antitürevleri ustaca kullanmak, matematik, fizik, mühendislik, ekonomi ve daha fazlasında karmaşık problemleri çözme kapılarını açar.

Anahtar Noktalar:

• Temel Kuralları Anlamak: Temel antitürev formüllerine aşina olmak esastır.
• Desenleri Tanımak: Fonksiyon türlerini tanımak integrasyon sürecini basitleştirir.
• Araçları Kullanmak: Adımlarla Mathos AI Antitürev Hesaplayıcısı gibi kaynaklar öğrenmeyi ve verimliliği artırır.
• Sürekli Pratik: Düzenli problem çözme, kavrayışı ve hatırlamayı güçlendirir.

Matematiksel yolculuğunuza devam ederken, antitürevlerin sadece soyut kavramlar değil, gerçek dünya fenomenlerini modelleyen ve çözen güçlü araçlar olduğunu unutmayın.

Sıkça Sorulan Sorular

1. Bir fonksiyonun antitürevini nasıl bulursunuz?

Türevini bulmak için:

• Fonksiyon tipini belirleyin.
• Uygun türev alma kuralını veya formülünü uygulayın.
• Gerekirse, yer değiştirme veya parçalı türev alma gibi entegrasyon tekniklerini kullanın.
• Entegrasyon sabiti $C$'yi ekleyin.

2. $ext{ln } x$'in türevi nedir?

$$\int \ln x d x=x \ln x-x+C$$

3. $ext{cos } x$'in türevi nedir?

$$\int \cos x d x=\sin x+C$$

4. Türev alma kuralları nelerdir?

Türev alma kuralları şunları içerir:

• Güç Kuralı: $\int x^n d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (için $n \neq-1$ )

• Üstel Fonksiyonlar: $\int e^x d x=e^x+C$

• Trigonometrik Fonksiyonlar: $\sin x, \cos x, \tan x$ gibi özel türevler.

• Logaritmik Fonksiyonlar: $\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$

5. Türevler için belirsiz integral notasyonu nasıl kullanılır?

• Belirsiz integral notasyonu $\int f(x) d x$, $f(x)$'in $x$'e göre türevini temsil eder.
• Tüm olası türevleri hesaba katarak entegrasyon sabiti $C$'yi içerir.

6. $an x$'in türevi nedir?

$$\int \tan x d x=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C$$

7. Mathos AI Türev Hesaplayıcısını Adımlarla nasıl kullanabilirim?

• Hesaplayıcı arayüzünde entegre etmek istediğiniz fonksiyonu girin.
• Entegrasyon değişkenini seçin (genellikle $x$ ).
• Türevi almak ve adım adım çözüm almak için hesapla butonuna tıklayın.

8. Entegrasyon sabiti neden önemlidir?

• Sabit $C$, türevin tüm olası dikey kaymalarını temsil eder.
• $f(x)$'in türevi olan tüm fonksiyonların dahil edilmesini sağlar.
• $C$'yi atlamak, geçerli türevlerin sonsuz sayısını kaçırmak anlamına gelir.