"AP Precalculus 在 2023/24 學年被加入 AP 課程中 (由 AP Central 宣布)，旨在幫助更多學生為大學數學和 STEM 領域的成功做好準備。那麼，什麼是 AP Precalculus？AP Precalculus 如何幫助高中生為大學水平的數學做好準備？誰應該選修 AP Precalculus？這門課程是如何組織的？學生修習 AP Precalculus 可以獲得什麼學分？在這本綜合指南中，您將找到有關 AP Precalculus 的所有信息。

什麼是 AP Precalculus

AP Precalculus 是一門 高級先修課程，旨在 等同於第一學期的大學預備微積分課程，涵蓋多項式和有理函數、指數和對數函數以及三角函數等主題。

這門課程專注於教導學生 三個基本的數學實踐： 程序和符號流暢性（約 43% 的考試權重）、溝通和推理（約 35% 的考試權重）以及多重表徵（約 22% 的考試權重）。

1. 程序性和符號流暢性

這個領域指的是學生準確、高效和靈活地應用數學程序和操作符號的能力。簡而言之，它測試你找到正確解決數學問題的最簡單和最快的方法的能力。

這裡有一個簡單的例子：

假設你需要解決方程 4(x + 2) = 12。

一個具有強大程序性和符號流暢性的學生可能會在 2 個快速步驟中解決這個問題：

• 步驟 1：認識到括號內的數量 (x + 2) 必須等於 3，因為 4 × 3 = 12。
• 步驟 2：迅速推斷出 x 必須等於 1，因為 1 + 2 = 3。

這個例子展示了程序流暢性，因為學生迅速理解了方程的結構，通過思考數字之間的關係聰明地解決了問題，並找到了最簡單的解決方案，而不會陷入複雜的數學步驟中。

2. 溝通和推理

這個領域強調學生解釋和分析數學問題的能力。知道如何使用數學證據和推理來支持你的解決方案也是很重要的。

例如，您已成功解決了 y = 2x + 3 並找到了 x = 2。現在，是時候解釋您解決方案背後的推理了。您可以開始說明這個方程式代表一個線性函數。詳細說明斜率 (2) 的重要性，這表示 y 每增加 1 單位，x 就增加 2 單位。此外，討論 y 截距 (3)，這表示該直線在 y 軸上與 (0, 3) 相交的點。

溝通和推理能力顯示您批判性思考、有效解決問題和邏輯解釋解決方案的能力。

3. 多重表示法

這個領域強調學生以不同方式（圖形、表格、符號等）呈現數學問題的能力，並在它們之間建立聯繫。

例如，有不同的方法來表示這個方程式：y = 2x + 3。

符號表示法： 這就是方程式本身：y = 2x + 3

圖形表示法：

表格表示法：

x	y = 2x + 3
-3	-3
-2	-1
-1	1
0	3
1	5
2	7
3	9

口頭表達： 這是一條斜率為2的直線，與y軸交於3。

為什麼要選修AP預備微積分？

許多高中生選修AP課程，因為這能更好地為他們的上大學做準備。以下是選修AP預備微積分的三個主要好處。

1. 獲得大學學分並節省學費

大學學分可能相當昂貴，通常每學分要幾百美元。例如，在一所公立大學，州內學生每學分的平均費用可能在$300到$500之間。AP預備微積分可以相當於一學期的大學預備微積分，通常為3或4個學分。因此，如果你在AP考試中表現良好，並且你申請的大學接受AP學分，你可以至少節省$1200的學費。

例如，俄勒岡大學對AP預備微積分授予學分。根據你的AP成績，你可以獲得4到8個學分，課程如Math 127T, Math 111Z, 和 112Z。如果你得分3或4，你可以獲得4個學分；如果你得5，你可以獲得8個學分。

如果您想知道哪些大學接受 AP 學分，請使用大學理事會的 AP 學分政策搜索 查詢您申請的大學的 AP 政策。只需選擇 AP 課程，您將看到一個大學列表，這些大學會對該課程給予學分以及所需的最低 AP 分數。

2. 提升大學申請機會

選修 AP 預備微積分顯示您對建立堅實的數學基礎非常認真，並且願意接受學術挑戰。

與普通的預備微積分不同，AP 預備微積分更深入地探討現實世界的應用，例如在物理或經濟學中建模現象。如果您申請以 STEM 為重點的課程，如工程或數據科學，這門課程的成功表明您能夠應對嚴格的學術挑戰，這可以使您在不選修 AP 數學的其他申請者中脫穎而出。

3. 為高級數學課程做準備

AP Precalculus

AP Precalculus 為 AP Calculus AB、AP Calculus BC 和大學級數學提供了優秀的基礎，通過向學生介紹關鍵概念，這些概念對於更高級的數學研究至關重要。

例如，AP Precalculus 介紹的一個關鍵概念是極限的概念，這是微積分的基石。

在 AP Precalculus 中，學生學會分析當 x 接近特定值時函數的行為。例如，探索 f(x) = (x² - 1) 當 x 接近 1 時的極限。在 AP Calculus 中，對極限的理解在學生定義微分和積分時變得至關重要。例如，導數被定義為差商的極限。然後，在大學級的物理或工程課程中，學生應用這些知識來計算各種系統中的瞬時速度或變化率。

誰應該選修 AP Precalculus？

那麼，誰有資格選修 AP Precalculus？任何人都可以選修嗎？雖然這是一門為廣泛學生群體設計的基本 AP 數學課程，但選修這門課程有一些先決條件。AP Precalculus 非常適合：

• 已完成 Algebra 2 或 Integrated Math 3 的學生
• 尋求挑戰性數學課程的高中三年級和四年級學生
• 計劃主修 STEM 或從事相關職業的學生
• 希望為 AP Calculus 或大學級數學建立堅實基礎的人
• 希望加強數學和批判性思維技能的優秀學生

AP Precalculus 需要敏銳的數學技能和堅實的分析思維。你應該對代數運算、函數分析和解題技巧感到舒適。這門課程要求強大的邏輯推理能力、對 圖形計算器 的熟練使用，以及能夠分解複雜數學概念的能力。

AP Precalculus: 課程概述

AP Precalculus 課程的主要主題分為四個單元：多項式和有理函數（考試的 30-40%）、指數和對數函數（考試的 27-40%）、三角函數和極坐標函數（考試的 30-35%），以及涉及參數、向量和矩陣的函數（不在 AP 考試中評估）。

1. 多項式和有理函數

讓我們探索一個易於理解的多項式和有理函數的例子：

多項式函數是變數的表達式，變數的指數為非負整數。想像一個函數 f(x) = x² + 3x - 2

• x² 是二次項
• 3x 是線性項
• -2 是常數項

有理函數是兩個多項式的分數。一個好的例子是：g(x) = (x + 2) / (x - 1)

這個有理函數由以下組成：

• 分子：x + 2（線性多項式）
• 分母：x - 1（另一個線性多項式）

關於這個有理函數的關鍵點：

• 圖形在x = 1附近急劇上升/下降（垂直漸近線）
• 當x變得很大時，圖形趨於y = 1
• 當x = 1時，沒有有效的y值（未定義點）

2. 指數和對數函數

指數函數和對數函數之間的一個關鍵區別是，指數函數快速增長並加速，而對數函數則緩慢增長並減速，基本上是彼此的反操作。

這裡有一個圖顯示了指數和對數函數的例子：

藍色曲線顯示指數增長，綠色曲線代表自然對數。它增長緩慢，並且僅在 x>0 時定義。

3. 三角函數和極坐標函數

學生將學習如何分析和解決三角函數以及繪製極坐標函數。三角函數如正弦 (sin)、餘弦 (cos) 和正切 (tan) 用於建模週期性現象，即重複的模式或週期。

考慮函數 y = 2sin(x) + 1。這表示一個正弦波，具有以下特徵：

• 振幅：2（波從其中心線的高度）
• 週期：2π（完整週期的長度）
• 垂直位移：+1（波向上移動1個單位）

極坐標函數提供了一種不同的方式來表示平面中的點和圖形。與使用矩形 (x, y) 坐標不同，極坐標使用：

• r: 原點（中心點）到某點的距離
• θ: 從正 x 軸開始的角度

例如，方程式 r = 2cos(θ) 代表一個半徑為 1 的圓，圓心位於極座標系中的點 (1, 0)。

4. 涉及參數、向量和矩陣的函數

在 AP 預備微積分中，涉及參數、向量和矩陣的函數幫助你理解更複雜的關係，通過引入額外的維度。

讓我們看一個隨時間移動的船隻位置的例子。

參數函數

想像一艘船在湖面上移動，其位置隨時間變化：

• 水平位置: x(t) = 3t
• 垂直位置: y(t) = 2t
• 這裡，t 是表示船隻運動的時間參數

向量表示

船的速度向量可以表示為 v=⟨3,2⟩，表示：

• 每個時間單位向東 3 單位
• 每個時間單位向北 2 單位

矩陣變換

旋轉矩陣可以改變船的方向：

$R = \begin{pmatrix} \cos(45°) & -\sin(45°) \\ \sin(45°) & \cos(45°) \end{pmatrix}$

通過將這個矩陣應用於船的初始位置，我們可以旋轉其軌跡，展示矩陣如何變換幾何路徑。

這個例子展示了參數如何追蹤時間，向量如何表示運動，以及矩陣如何使變換共同作用以描述複雜的運動。

AP 預備微積分考試

"AP預備微積分考試持續3小時，分為兩個部分（選擇題和自由回答）。考試的某些部分不允許使用計算器。考試前請務必查看AP考試計算器政策和批准的圖形計算器。

40道選擇題 | 2小時 | 62.5% 考試分數

• A部分：80分鐘內28題（佔你分數的43.75%）。不允許使用計算器。
• B部分：40分鐘內12題（佔你分數的18.75%）。需要圖形計算器。

4道自由回答題 | 1小時 | 37.5% 考試分數

• A部分：30分鐘內2題（佔你分數的18.75%）。需要圖形計算器。

  • Q1: 函數概念

  • Q2: 建模非周期性情境

• B部分：30分鐘內2題（佔你分數的18.75%）。不允許使用計算器。

  • Q3: 建模周期性情境

  • Q4: 符號運算

AP預備微積分考試問題

以下是一些來自過去AP預備微積分考試的問題（來自College Board），讓你了解考試的樣子。

AP預備微積分選擇題：

AP 預備微積分自由回應問題：

在 AP 預備微積分中成功的技巧

• 掌握課程的核心概念

記住基本的函數變換和關鍵的數學關係。同時，找出你的弱點並花更多時間在這上面也很重要。假設你在記憶方面不是很完美，一個強大的長期記憶保持技巧是間隔重複。立即並重複地以逐漸增加的間隔回顧新的數學信息。目標是讓數學概念在你的腦海中保持新鮮和隨時可用。

你還可以使用 AI 學習工具來幫助你完成作業並解釋解決數學問題的步驟。例如，Mathos AI 是一個很棒的數學解題器和計算器，你可以在那裡找到 AI 家教、作業助手 和超過 40 種計算器 來解決不同的數學問題。

• 考試前的練習

嘗試每天至少 dedicating 30 分鐘來練習你最薄弱的領域。在考試前的兩週內，每天解決 5 到 10 道題目，以熟悉不同的題型並提高你的整體表現。你可以在 Albert.io 或 AP Central 找到 AP 預備微積分的練習考試。

考試的那一週，嘗試做一份完整的練習考試。設置計時器來練習，就像你在實際考試中一樣。記住，多選題需要 2 小時，自由回答題需要 1 小時。

• 熟練使用你的計算器

你的圖形計算器是一個強大的工具，但它不是魔法解決方案。練習使用計算器進行圖形繪製、解方程和執行複雜計算。記得在計算器中存儲中間值，以保持多步問題的最終答案的準確性。

此外，練習在計算器模式和無計算器模式之間切換，以便你知道何時以及如何有效地使用計算器。

• 有效回答考試問題

總是先回答你有信心的問題，然後再回到挑戰性的問題。明智地規劃你的時間。嘗試每道多選題不超過 2 分鐘，每道自由回答題大約 15 分鐘。

在 AP 預備微積分考試中取得成功來自於持續的努力、策略性的學習以及對數學概念的深入、細緻的理解。

結論

AP 預備微積分不僅僅是解方程式，它還關乎於培養一種複雜的數學思維方式以及其他重要技能，如批判性思維、溝通和推理。這門課程旨在幫助學生為大學水平的數學做好準備，因為它涵蓋的主題比普通高中數學更為複雜。修習 AP 預備微積分有許多好處。成功完成這門課程的學生有機會獲得大學學分或修讀進階數學課程。

無論你是瞄準 STEM 專業還是希望增強你的分析能力，這門課程提供了一個全面、嚴謹的數學體驗，遠超過傳統的課堂學習。

迎接挑戰，保持好奇，讓 AP 預備微積分成為你通往數學卓越的門戶！

常見問題

AP 預備微積分可以為你準備哪些職業？

AP 預備微積分為 STEM 領域的職業提供了堅實的基礎，如工程、計算機科學、物理和數據科學。

AP 預備微積分與其他高中進階數學課程相比如何？

AP 預備微積分

AP 預備微積分作為代數 II 和高級數學課程（如微積分）之間的橋樑，專注於對函數及其性質的深入探索，而其他高級數學課程可能專注於特定領域，如統計或離散數學。

AP 預備微積分可以替代哪些大學數學課程？

根據學校的學分政策，AP 預備微積分可以替代大學入門數學課程，如大學代數或預備微積分。請務必與您的大學確認學分接受情況。

AP 預備微積分難嗎？

AP 預備微積分可能具有挑戰性，因為它涵蓋了高級數學主題，如函數、三角學和建模，但只要持之以恆地練習，這是可以應對的。遵循上述提示以在課程和考試中表現出色。

在微積分之前真的需要預備微積分嗎？

在微積分之前強烈建議學習預備微積分，因為它為微積分的成功奠定了堅實的基礎，包括函數、三角學和代數。但這不是必須的。